题意

给定 nnn 个点编号为 1−n1-n1−n 以及一个 1−n1-n1−n 的排列任意两个点 i,ji ,ji,j 之间存在一条边权为 ∣i−j∣∗∣pi−pj∣|i-j|*|pi-pj|∣i−j∣∗∣pi−pj∣ 的边求将n个点联通的最小权值和

思路

∣i−j∣∗∣pi−pj∣|i-j|*|pi-pj|∣i−j∣∗∣pi−pj∣ 根据该式可知取 ∣i−j∣==1|i-j|==1∣i−j∣==1 的相邻两数连边权值 ≤n−1≤n-1≤n−1 故其中的一种构建生成树的方案是选择 n−1n-1n−1 条两两相邻的边。故最小生成树中必定不存在权值 >n−1>n-1>n−1 的边
证：若存在任意一条权值 >n−1>n-1>n−1 连通任意两个连通块
i)i)i) 两个联通块相邻那么可以直接选择连通两个连通块相邻的两个点权值 ≤n−1≤n-1≤n−1
ii)ii)ii) 两个联通块不相邻证明两连通块间存在其它的一个或多个连通块将相邻的连通块使用权值 ≤n−1≤n-1≤n−1 的相邻边连同后又转化为第一种两个连通块相邻的情况
故选定的边满足 ∣i−j∣∗∣pi−pj∣|i-j|*|pi-pj|∣i−j∣∗∣pi−pj∣ ≤n−1≤n-1≤n−1
∣i−j∣|i-j|∣i−j∣ 或 ∣pi−pj∣|pi-pj|∣pi−pj∣ 两项必有一项 ≤(n−1)≤\sqrt{(n-1)}≤(n−1)
可以在 O(nn)O(n\sqrt{n})O(nn) 的时间内枚举出满足条件的边
i)i)i) ∣i−j∣|i-j|∣i−j∣≤(n−1)≤\sqrt{(n-1)}≤(n−1) 即两点的下标 ≤(n−1)≤\sqrt{(n-1)}≤(n−1)
ii)ii)ii) ∣pi−pj∣|pi-pj|∣pi−pj∣ ≤(n−1)≤\sqrt{(n-1)}≤(n−1) 即两点的点权 ≤(n−1)≤\sqrt{(n-1)}≤(n−1)
开两个数组分别记录枚举即可
最多可得到 2∗nn2*n\sqrt{n}2∗nn 条边直接 sortsortsort 会 ttt
因选取的边权值都 ≤n−1≤n-1≤n−1 值域较小所以可以采用链式前向星桶排
这样在 KruskalKruskalKruskal 求最小生成树时只需要从小到大枚举值域即可

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define __T int csT;scanf("%d",&csT);while(csT--)
#define endl '\n'
const int mod=998244353;
const double PI= acos(-1);
const double eps=1e-6;
const int N=2e5+7;long long x,ans;
int n,cnt,nd;
long long p[50003],id[500003];
int b[50003],dep[500003],h[50003];
int fd(int x)
{if(b[x]==x)return x;return b[x]=fd(b[x]);//路径压缩
}
struct node{int x,y,nx;
}e[24000003];void merge(int x,int y)
{x=fd(x);y=fd(y);if(dep[x]<dep[y]){b[x]=y;}else if(dep[x]==dep[y]){b[x]=y;++dep[y];}else{b[y]=x;}//按秩合并
}inline void sol()
{scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;++i){b[i]=i;dep[i]=1;h[i]=-1;scanf("%d",&p[i]);id[p[i]]=i;}ans=0;cnt=0;nd=n-1;for(int i=1;i<n;++i){for(int j=1;j*j<=n&&i+j<=n;++j)//向后枚举 sqrt(n) 个点/值{x=abs(i-(i+j))*abs(p[i]-p[i+j]);if(x<n)//将边权小于等于 n-1 的放入对应权值的桶{e[++cnt].x=i;e[cnt].y=i+j;e[cnt].nx=h[x];h[x]=cnt;}x=abs(id[i]-id[i+j])*abs(i-(i+j));if(x<n){e[++cnt].x=id[i];e[cnt].y=id[i+j];e[cnt].nx=h[x];h[x]=cnt;}}}for(int i=1;i<n;++i)//从小到大枚举值域{for(int j=h[i];~j;j=e[j].nx){if(fd(e[j].x)!=fd(e[j].y)){merge(e[j].x,e[j].y);ans+=i;--nd;}if(nd==0)break;}}printf("%d\n",ans);
}
int main()
{//freopen("C:\\Users\\23122\\Desktop\\1.in","r",stdin);//freopen("C:\\Users\\23122\\Desktop\\out.txt","w",stdout);__Tsol();return 0;
}

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