【同余最短路】P3403+P2371+P2662+牛客4853D

同余最短路经典问题总结

同余最短路经典套路
P3403
P2371
P2662
牛客练习赛60：D

同余最短路经典套路

给定nnn个数，每个数都可以选多次（也可以不选），将所有选中的数相加。问最终能够组成多少种不同的数或者不能组成的最大数或者。。。
形如ax+by+cz+..=kax+by+cz+..=kax+by+cz+..=k，其中a,b,ca,b,ca,b,c表示对应的数的选中次数。
从最简单的ax+by=kax+by=kax+by=k入手分析：
by=k−axby=k-axby=k−ax by%x∈[0,x−1]by\%x \in{[0,x-1]}by%x∈[0,x−1] i⇒(i+y)%x,cost=y,i∈[0,x−1]i\Rightarrow(i+y)\%x,cost=y,i\in{[0,x-1]}i⇒(i+y)%x,cost=y,i∈[0,x−1]
也就是说由bybyby组成的值对xxx取余，可以将这些值根据余数分为xxx组，也就是同余类。并且从余数iii到余数(i+y)%x(i+y)\%x(i+y)%x的代价是yyy。
建图，边的信息为(i,(i+y)%x,y),i∈[0,x−1](i, (i+y)\%x, y), i\in{[0,x-1]}(i,(i+y)%x,y),i∈[0,x−1]，表示从点iii到点(i+y)%x(i+y)\%x(i+y)%x的代价是yyy（当然也存在 by%x≠iby\%x\ne iby%x=i这种情况）。
dis[i]dis[i]dis[i]表示满足by%x=iby\%x=iby%x=i的最小的bybyby，也就是最少要选取bbb次yyy，才能使by%x=i,b≥0by\%x=i,b≥0by%x=i,b≥0，也就是每个同余类中的最小值。
求dis[]dis[]dis[]就相当于在图中求最短路（我习惯用spfa），且dis[0]=0dis[0]=0dis[0]=0（因为0∗y%x=00*y\%x=00∗y%x=0）
求完dis[i]dis[i]dis[i]之后便得到了每个同余类中的最小值pip_ipi，很明显pi+xp_i+xpi+x和pip_ipi属于同一个同余类中，并且pi+tx≠pj+tx,0≤i,j≤x−1,i≠jp_i+tx\ne p_j+tx,0≤i,j≤x-1,i\ne jpi+tx=pj+tx,0≤i,j≤x−1,i=j，这样就得得到了ax+by=kax+by=kax+by=k组成的所有的不同的kkk值。
对于ax+by+cz=kax+by+cz=kax+by+cz=k这种式子，按照同样的思路建图，边的信息为：
(i,(i+y)%x,y)(i, (i+y)\%x, y)(i,(i+y)%x,y)(i,(i+z)%x,z)(i, (i+z)\%x, z)(i,(i+z)%x,z)
对应的dis[i]dis[i]dis[i]表示满足by+cz%x=iby+cz\%x=iby+cz%x=i的最小的by+czby+czby+cz。
为了使图中的节点数最少，取这nnn个数中的最小值作为xxx，那么图中的边数为x(n−1)x(n-1)x(n−1)。

P3403

传送门

题意：
相当于求ax+by+cz+1ax+by+cz+1ax+by+cz+1能够组成多少个小于hhh的不同的数。
思路：
因为by+cz+1by+cz+1by+cz+1当b=0,c=0b=0,c=0b=0,c=0时得到111，所以根据dis[i]dis[i]dis[i]的定义有dis[1%x]=1dis[1\%x]=1dis[1%x]=1。
求出dis[]dis[]dis[]后，可知ans=∑i=0x−1(h−dis[i]x+1)\displaystyle ans=\sum_{i=0}^{x-1} (\frac{h-dis[i]}{x}+1)ans=i=0∑x−1(xh−dis[i]+1)，(h>=dis[i])(h>=dis[i])(h>=dis[i])
ac代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 1e9+7;
const int maxn = 1e5+10;
struct node{int nxt, val;
};
vector<node> edge[maxn];
queue<int> q;
int x, y, z;
ll h;
ll dis[maxn];
bool inq[maxn];
void spfa()
{for(int i = 0; i <= x; i++) dis[i] = LLONG_MAX, inq[i] = false;dis[1%x] = 1;q.push(1%x); inq[1%x] = true;while(!q.empty()){int now = q.front(); q.pop(); inq[now] = false;for(auto e: edge[now]){int nxt = e.nxt, val = e.val;if(dis[now]+val<dis[nxt]){dis[nxt] = dis[now]+val;if(!inq[nxt]) q.push(nxt), inq[nxt] = true;}}}
}
int main()
{//freopen("/Users/zhangkanqi/Desktop/11.txt","r",stdin);scanf("%lld %d %d %d", &h, &x, &y, &z);int p = min(x, min(y, z));if(y==p) swap(x, y);else if(z==p) swap(x, z);for(int i = 0; i < x; i++){edge[i].push_back({(i+y)%x, y});edge[i].push_back({(i+z)%x, z});}spfa();ll ans = 0;for(int i = 0; i < x; i++) if(h>=dis[i]) ans += (h-dis[i])/x+1;printf("%lld\n", ans);return 0;
}

P2371

传送门

题目：
求∑aixi\sum{a_ix_i}∑aixi的值有多少个在[l,r][l,r][l,r]内，xix_ixi已知。
思路：
先求出∑aixi\sum{a_ix_i}∑aixi有多少种小于等于h的值，记为cnt[h]cnt[h]cnt[h]（这就是P3403要解决的问题）。
ans=cnt[r]−cnt[l−1]ans=cnt[r]-cnt[l-1]ans=cnt[r]−cnt[l−1]
ac代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 1e9+7;
const int maxn = 5e5+10;
struct node{int nxt, val;
};
vector<node> edge[maxn];
queue<int> q;
ll dis[maxn];
int a[20];
bool inq[maxn];
ll n, l, r;
void spfa()
{for(int i = 0; i <= a[1]; i++) dis[i] = LLONG_MAX;dis[0] = 0; q.push(0); inq[0] = true;while(!q.empty()){int now = q.front(); q.pop(); inq[now] = false;for(auto e: edge[now]){int nxt = e.nxt, val = e.val;if(dis[now]+val<dis[nxt]){dis[nxt] = dis[now]+val;if(!inq[nxt]) q.push(nxt), inq[nxt] = true;}}}
}
ll cnt(ll h)
{ll ans = 0;for(int i = 0; i < a[1]; i++)if(h>=dis[i]) ans += (h-dis[i])/a[1]+1;return ans;
}
int main()
{//freopen("/Users/zhangkanqi/Desktop/11.txt","r",stdin);scanf("%lld %lld %lld", &n, &l, &r);int mi = INT_MAX;for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]), mi = min(mi, a[i]);for(int i = 1; i <= n; i++) if(a[i]==mi) {swap(a[i], a[1]); break; }for(int i = 0; i < a[1]; i++)for(int j = 2; j <= n; j++)edge[i].push_back({(i+a[j])%a[1], a[j]});spfa();printf("%lld\n", cnt(r)-cnt(l-1));return 0;
}

P2662

传送门

题目：
题目转化为求∑aixi\sum{a_ix_i}∑aixi不能组成的最大的数（根据题意可知指的是正数），xix_ixi已知，不存在或最大值不能确定输出−1-1−1。
思路：
- 如果存在xi=1x_i=1xi=1，那么可以得到任何正数，输出−1-1−1
- 如果对于xxx的一个同余类iii，得不到相应的dis[i]dis[i]dis[i]，说明对于满足w%x=iw\%x=iw%x=i的www，都不能由这些数得到，且www可以无限大，无法确定最大值，输出−1-1−1。
- dis[i]dis[i]dis[i]是同余类iii里面的最小值，那么在同余类iii中，属于这个同余类但不可得到的最大数为dis[i]−xdis[i]-xdis[i]−x，那么ans=max{dis[i]−x},i∈[0,x−1]ans=max\{dis[i]-x\},i\in{[0,x-1]}ans=max{dis[i]−x},i∈[0,x−1]
ac代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 3e3+10;
struct node{int nxt, val;
};
vector<node> edge[maxn];
queue<int> q;
int n, m, x;
int a[110];
ll dis[maxn];
bool inq[maxn];
void spfa()
{for(int i = 0; i < x; i++) dis[i] = LLONG_MAX, inq[i] = false;dis[0] = 0; inq[0] = true;q.push(0);while(!q.empty()){int now = q.front(); q.pop(); inq[now] = false;for(auto e: edge[now]){int nxt = e.nxt, val = e.val;if(dis[now]+val<dis[nxt]){dis[nxt] = dis[now]+val;if(!inq[nxt]) q.push(nxt), inq[nxt] = true;}}}
}
int main()
{//freopen("/Users/zhangkanqi/Desktop/11.txt","r",stdin);scanf("%d %d", &n, &m);for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);sort(a+1, a+1+n);if(m>=a[1]-1) {printf("-1\n"); return 0;}//任何长度都可以达到x = a[1]-m;for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = max(a[i-1]+1, a[i]-m); j <= a[i]; j++)//不统计重复的长度for(int k = 0; k < x; k++)edge[k].push_back({(k+j)%x, j});spfa();ll ans = 0;for(int i = 0; i < x; i++){if(dis[i] == LLONG_MAX) {printf("-1\n"); return 0;}//最大值不存在（可以无穷大）else ans = max(ans, dis[i]-x);//该同余类不能构成的最大的数}printf("%lld\n", ans);return 0;
}

牛客练习赛60：D

传送门

题目：
求满足ax+by+cz=kax+by+cz=kax+by+cz=k的一组解，a,b,ca,b,ca,b,c已知。
思路：
裸的同余最短路题，在求最短路的时候记录下bbb值在最短路的路径中出现的次数。
当然本地也可以枚举z的值，用扩展欧几里得算法做，然后就是上模板了。
ac代码：
- 同余最短路做法（正解）：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 1e9+7;
const int maxn = 1e5+10;
int a, b, c;
ll k;
struct node{int nxt, val;
};
vector<node> edge[maxn];
queue<int> q;
ll dis[maxn], cntb[maxn];
bool inq[maxn];
void spfa()
{for(int i = 0; i < a; i++) dis[i] = LLONG_MAX, cntb[i] = 0;dis[0] = 0;q.push(0);while(!q.empty()){int now = q.front(); q.pop(); inq[now] = false;for(auto e: edge[now]){int nxt = e.nxt, val = e.val;if(dis[now]+val<dis[nxt]){dis[nxt] = dis[now]+val;cntb[nxt] = cntb[now];if(val==b) cntb[nxt]++;if(!inq[nxt]) inq[nxt] = true, q.push(nxt);}}}
}
int main()
{//freopen("/Users/zhangkanqi/Desktop/11.txt","r",stdin);scanf("%d %d %d %lld", &a, &b, &c, &k);for(int i = 0; i < a; i++){edge[i].push_back({(i+b)%a, b});edge[i].push_back({(i+c)%a, c});}spfa();for(int i = 0; i < a; i++){if(k>=dis[i] && (k-dis[i])%a==0){printf("%lld %lld %lld\n", (k-dis[i])/a,  cntb[i], (dis[i]-cntb[i]*b)/c);break;}}return 0;
}

扩展欧几里得算法：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 1e9+7;
const int maxn = 1e3+10;
ll a, b, c, k;
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)//ax+by,返回gcd（a, b）
{if(b == 0){x = 1;y = 0;return a;//gcd(a,b)}ll r = exgcd(b, a%b, x, y);//x1=y2 ,  y1=x2-a/b*y2ll t = x;x = y;y = t - a/b*y;return r;
}
bool linear_equation(ll a, ll b, ll c, ll &x, ll &y)//ax+by=c
{ll com = exgcd(a, b, x, y);if(c%com) return false;ll k = c/com;x *= k; y *= k;//一组解ll B = abs(b/com);x = ((x%B)+B)%B; //最小正整数解xy = (c-a*x)/b;if(x>=0 && y>=0) return true;else return false;
}
int main()
{scanf("%lld %lld %lld %lld", &a, &b, &c, &k);ll x, y;for(ll z = 0; z <= 100000; z++){if(linear_equation(a, b, k-z*c, x, y)){printf("%lld %lld %lld\n", x, y, z);break;}}return 0;
}