同余最短路（P3403 跳楼机）

同余最短路

前置

给定m个数，这m个数可以重复取，问最大的这m个数不能拼成的数，或者给定一定范围，范围里有多少个数是这m个数可以拼成的，对于这种问题我们可以考虑同余最短路的算法。

P3403 跳楼机

同余最短路介绍

首先我们要选择一个basebasebase作为基底，之后所有的距离就可以描述成a∗base+ba * base + ba∗base+b。

在这题中我们选定xxx作为base。

dis[i]=valuedis[i] = valuedis[i]=value有如下含义：value≡i(modx)value \equiv i \pmod xvalue≡i(modx)，也就是同余的条件下，我们可以到达的最小的楼层，这样我们剩下的楼层就可以通过+x+ x+x的操作去访问，所以我们最后的可以到达的楼层也就是∑i=0x−1(h−dis[i])/x+1\sum _{i = 0} ^ {x - 1} (h - dis[i]) / x + 1∑i=0x−1(h−dis[i])/x+1，这句应该稍加简单理解一下就好了。

接下来我们考虑如何建边，显然有i−>(i+y)%xcost=y,i−>(i+z)%xcost=zi - > (i + y) \% x\ cost = y, i -> (i + z) \% x\ cost = zi−>(i+y)%x cost=y,i−>(i+z)%x cost=z。

所以我们可以对所有的x∈[0,x−1]x\in [0, x - 1]x∈[0,x−1]，分别同上建立一条边权为yyy的，一条边权为zzz的边。然后再去跑一遍最短路，我们就可以得到所有的disdisdis了。

代码

/*Author : lifehappy
*/
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#include <bits/stdc++.h>
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define endl '\n'using namespace std;typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> pii;const double pi = acos(-1.0);
const double eps = 1e-7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;inline ll read() {ll f = 1, x = 0;char c = getchar();while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-')    f = -1;c = getchar();}while(c >= '0' && c <= '9') {x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48);c = getchar();}return f * x;
}void print(ll x) {if(x < 10) {putchar(x + 48);return ;}print(x / 10);putchar(x % 10 + 48);
}const int N = 1e5 + 10;ll h, dis[N];bool visit[N];vector<pii> G[N];void spfa() {memset(dis, 0x3f, sizeof dis);queue<int> q;q.push(1);dis[1] = 1, visit[1] = 1;while(q.size()) {int temp = q.front();q.pop();visit[temp] = 0;for(pii i : G[temp]) {if(dis[i.first] > dis[temp] + i.second) {dis[i.first] = dis[temp] + i.second;if(!visit[i.first]) {q.push(i.first);visit[i.first] = 1;}}}}
}int main() {// freopen("in.txt", "r", stdin);// freopen("out.txt", "w", stdout);// ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);h = read();int x = read(), y = read(), z = read();if(x == 1 ||  y == 1 || z == 1) {//注意如果有一个数为1，必须特判，不然我们跑出来的最短路dis,将会重复计数。printf("%lld\n", h);return 0;}for(int i = 0; i < x; i++) {G[i].pb(mp((i + y) % x, y));G[i].pb(mp((i + z) % x, z));}spfa();ll ans = 0;for(int i = 0; i < x; i++) {if(dis[i] <= h) {ans += (h - dis[i]) / x + 1;}}printf("%lld\n", ans);return 0;
}