1. 调和函数的定义

在《浅谈矢量场 —— 1. 梯度、散度与拉普拉斯算子》这篇文章中提到过「拉普拉斯算子」，它的表达形式一般如下：

Δ=∇2=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2\Delta = \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} Δ=∇2=∂x2∂2+∂y2∂2+∂z2∂2

在物理上，它是 nnn 维欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度 ∇f\nabla f∇f 的散度 ∇⋅∇f\nabla \cdot \nabla f∇⋅∇f。注意，通常表示梯度时，我们使用 ∇f\nabla f∇f，而表示散度时，我们习惯使用 ∇⋅f\nabla \cdot f∇⋅f，旋度则一般表示为 ∇×f\nabla \times f∇×f。所以，拉普拉斯算子的二阶形式，经常被简写为 ∇2f\nabla^2 f∇2f，很少使用 Δf\Delta fΔf 形式，因为这容易与微量弄混淆，所以现在一些较新的出版论文或教材里，已经较多的使用 ∇2\nabla^2∇2 替换了原有的 Δf\Delta fΔf 形式。

而「调和函数」的形式可以从「拉普拉斯算子」出发，被认为是当「拉普拉斯算子」等于0的特殊情况的一类函数，即：

∇2φ=∂2φ∂x2+∂2φ∂y2+∂2φ∂z2=0\nabla^2 \varphi = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2} = 0 ∇2φ=∂x2∂2φ+∂y2∂2φ+∂z2∂2φ=0

而且一般对于复数域来说，我们只讨论到实数域和虚数域两个维度，所以：

∇2φ=∂2φ∂x2+∂2φ∂y2=0\nabla^2 \varphi = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} = 0 ∇2φ=∂x2∂2φ+∂y2∂2φ=0

我个人感觉，「调和函数」这种函数形式，对于研究物理「场」是一种特别重要的工具，但是说实话在数学范畴上，是比较少见到具体应用的。

那么对于一个复变函数 f(z)=u+jvf(z) = u + j vf(z)=u+jv 来说，如果它自身满足

{∇2u=0∇2v=0\left \{ \begin{matrix} \nabla^2 u = 0 \\ \nabla^2 v = 0 \end{matrix} \right . {∇2u=0∇2v=0

那么我们称其为调和函数。

现在我们来看一些例题

例1.

函数 f(z)=u+jvf(z) = u + j vf(z)=u+jv 在区域 DDD 内解析，则下列命题中错误的是________
A. 函数 f(z)f(z)f(z) 在区域 DDD 内可导；
B. 函数 uuu、 vvv 时区域 DDD 的调和函数；
C. 函数 uuu、 vvv 在区域 DDD 内满足柯西黎曼方程；
D. 函数 uuu、 vvv 在区域 DDD 内的共轭调和函数。

解：这题主要考察对复变函数相关概念的掌握，我们现在一一分析：

首先对于答案A，由于题干给出了在 DDD 内解析，那它必然在 DDD 内处处可导（对这问题不熟悉的朋友，可以看《复变函数 —— 3. 什么是解析函数》），并且可以直接得到 uuu、 vvv必然也满足柯西黎曼方程，所以C也是正确的。

接下来对于B来说，由于A和C正确，所以对于复变函数的一阶导必然是一个复常数 aaa

∇f=a\nabla f = a ∇f=a

这是因为如果说复变函数在点 (x,y)(x, y)(x,y) 存在导数，也就意味着当 zzz 趋于 zoz_ozo 时，f(z)f(z)f(z) 有极限a存在，即 limz→zof(z)−f(zo)z−zo=alim_{z \to z_o} \frac{f(z) - f(z_o)}{z - z_o} = alimz→zoz−zof(z)−f(zo)=a。注意这里的 aaa 必须是一个确定的「复常数」，即 3−j3-j3−j 或者 1/4j1/4j1/4j这样，而不是 x−jx - jx−j这种类型的。

所以如果我们再对「复常数」aaa 取导，它一定等于0，所以在满足区域 DDD 内解析的同时，uuu、 vvv也同时满足调和函数的定义要求，B因此也是正确的；这样错误的只有D了。

例2.

验证 u(x, y) = x^2 - y^2 + xy 是调和函数，并求相应的解析函数，f(z)=u+jvf(z) = u + j vf(z)=u+jv，使 f(0)=0f(0) = 0f(0)=0。

解：验证调和函数，首先要求上式的二阶导，所以

∂∂x∂(x2−y2+xy)∂x=∂∂x⋅(2x+y)=2\frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial (x^2 - y^2 + xy)}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \cdot (2x + y) = 2 ∂x∂∂x∂(x2−y2+xy)=∂x∂⋅(2x+y)=2

∂∂y∂(x2−y2+xy)∂y=∂∂y⋅(−2y+x)=−2\frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial (x^2 - y^2 + xy)}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \cdot (-2y + x) = -2 ∂y∂∂y∂(x2−y2+xy)=∂y∂⋅(−2y+x)=−2

由于 2−2=02-2 =02−2=0，所以uuu是调和函数。接下来在已知实数域函数 uuu 的前提下，我们需要推导出虚数域的函数 vvv，先从CR方程，可以得到 ∂u∂x=∂v∂y\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}∂x∂u=∂y∂v，注意这两个都是导数形式，所以要想得到原函数，可以把导数代入积分中，即：

v=∫v′dy=∫u′dyv = \int v' dy = \int u' dy v=∫v′dy=∫u′dy

u′u'u′ 其实已经在验证调和函数过程中得到，所以直接代入

v=∫(2x+y)dx=2xy+12y2+C(x)v = \int (2x + y) dx = 2xy + \frac{1}{2} y^2 + C(x) v=∫(2x+y)dx=2xy+21y2+C(x)

于是得到 ∂v∂x=2y+C′(x)\frac{\partial v}{\partial x} = 2y + C'(x)∂x∂v=2y+C′(x)，然后再代入CR方程，∂u∂y=−∂v∂x\frac{\partial u}{\partial y}= - \frac{\partial v}{\partial x}∂y∂u=−∂x∂v，

x−2y=−2y−C′(x)→C′(x)=−xx - 2y = -2y - C'(x) \to C'(x) = -x x−2y=−2y−C′(x)→C′(x)=−x

然后求C(x)C(x)C(x) 的原函数，通过 C(x)=∫−xdx=−12x2+CC(x) = \int -x dx = -\frac{1}{2} x^2 + CC(x)=∫−xdx=−21x2+C，最终 v=2xy+12y2−12x2+Cv = 2xy + \frac{1}{2} y^2 -\frac{1}{2} x^2 + Cv=2xy+21y2−21x2+C，然后对于 f(z)=u+jvf(z) = u + jvf(z)=u+jv ，可得到：

f(z)=x2−y2+xy+j(2xy+12y2−12x2+C)f(z) = x^2 - y^2 + xy + j(2xy + \frac{1}{2} y^2 -\frac{1}{2} x^2 + C) f(z)=x2−y2+xy+j(2xy+21y2−21x2+C)

然后带入条件 f(0)=0f(0) = 0f(0)=0，且 z=x+jyz = x + j yz=x+jy 可知 x=y=0x = y = 0x=y=0，于是

f(z)=x2−y2+xy+j(2xy+12y2−12x2+C)⇒jC=0⇒C=0f(z) = x^2 - y^2 + xy + j(2xy + \frac{1}{2} y^2 -\frac{1}{2} x^2 + C) \Rightarrow jC = 0 \Rightarrow C= 0 f(z)=x2−y2+xy+j(2xy+21y2−21x2+C)⇒jC=0⇒C=0

复变函数 —— 4. 什么是调和函数相关推荐

[复变函数]第12堂课 3.4 解析函数与调和函数的关系
0. 引言设 $f=u+iv$ 在区域 $D$ 内解析, 则 $$\bex u_x=v_y,\ u_y=-v_x\ra \sedd{\ba{ll} u_{xx}+u_{yy}=v_{yx}-v_{x ...
UA MATH524 复变函数3 复变函数的极限与可微性
UA MATH524 复变函数3 复变函数的极限与可微性复数域上的集合复变函数的极限连续性复变函数的可微性 Cauchy-Riemann方程 Laplace方程与调和函数复数域上的集合概念 ...
积分路径上有奇点的积分_复变函数导数与积分与级数
STOPPING THE HEAT 先来看学习的目录 (1)基础知识--复数及其代数运算和几何表示,乘除,幂根 (2)复变函数的概念和极限,连续 (3)复变函数的可导和解析的定义和条件及初等函数. ( ...
[渝粤题库]西北工业大学复变函数与积分变换
复变函数与积分变换窗体顶端 1. 下列关于幂级数的叙述,不正确的是( ). A.在收敛圆内,幂级数绝对收敛 B.在收敛圆外,幂级数发散 C.在收敛圆周上,可能收敛,也可能发散 D.在收敛圆 ...
复变函数系列（三） - 复变函数的积分
目录复变函数的积分 1. 有关的几个定理与公式 1.1 C-R 方程 1.2 C-G 定理 1.3 圈圈公式 1.4 复合闭路定理 1.5 Cauchy积分公式 1.6 高阶导数公式 1.7 Lap ...
复变函数和积分变换(Complex Function I)
本站已停止更新,查看最新内容请移至本人博客 Wilen's Blog 数学物理方法复数与复变函数复数(Complex Number) 平面点集(Planar Point Set) 复变函数(Com ...
讲解一些复变函数的基础概念
可以对实数域做一个推广复数域,于是获得一个比较好的性质.我们把多项式函数的f(x)=x2+1f(x)=x^2+1f(x)=x2+1的根i=−1i=\sqrt{-1}i=−1添加入实数域,得知C=R[ ...
[渝粤教育] 西北工业大学复变函数与积分变换参考资料
教育 -复变函数与积分变换-章节资料考试资料-西北工业大学[] 第一章作业第一章测验 1.[单选题]复数为实数的充分而不必要条件为 A. B. C.为实数 D.为实数参考资料[ ] 2.[单选题] ...
复变函数基本概念总结
复变函数与解析函数主辐角argz(-pi,pi), 辐角Argz=argz+2kpi; 零向量没有确定的方向角: |z1z2|=|z1||z2|, Arg(z1z2)=Arg(z1)+Arg(z2) ...
【复变函数与积分变换】02. 解析函数
Contents 2 解析函数 2.1 复变函数 2.2 解析函数 2.3 解析函数的充分必要条件 2.4 解析函数与调和函数的关系 2.5 初等解析函数 2 解析函数 2.1 复变函数复变函数的定 ...

复变函数 —— 4. 什么是调和函数

文章目录

1. 调和函数的定义

例1.

例2.

复变函数 —— 4. 什么是调和函数相关推荐

最新文章

热门文章