详解傅里叶变换与拉普拉斯，Z变化的联系

本文是对知乎上大佬的学习，其知乎名为逸珺：傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z 变换的联系是什么？为什么要进行这些变换？ - 知乎

三者关系如下

如下图所示，傅里叶变换是拉普拉斯变换的特殊形式，Z变换是拉普拉斯变换的离散形式。

要理解三种变换的联系区别，首先要理解什么是数学变换，什么是积分变换

因为：傅里叶变换和及拉普拉斯变换的本质都是基本变换

什么是数学变换

数学变换：指函数从原向量空间变换为另一个向量空间，或从集合x到另一个集合Y的可逆函数。

如旋转变换，平移，对称等等

数学中还有很多数学变换，其本质都可以看成是将函数f(x)利用变换因子进行的一种数学映射，其变换结果其函数的自变量有可能还是原来的几何空间，或许会变成其他的向量空间，比如傅立叶变换就从时域变换为频域。

而傅立叶变换与拉普拉斯变换本质上都是对连续函数的一种积分变换，那么什么是积分变换呢？

为何积分变换:

积分变换通过积分将一个函数从其原始函数空间映射到另一个函数空间，其中原始函数的某些属性可能比原始函数空间更容易表征和操作。通常可以通过逆变换变回原函数。

通常积分变换，假定对于函数为自变量t的函数f(t)，都类似具有以下的范式

函数f(t)是该变换的输入，(Tf)(u)为变换的输出，因此积分变换一般也称为一种特定的数学运算符。而函数K(t,u)称为积分核函数(kernel function)。

变换可逆

观察正逆变换可知：

核函数刚好两个自变量交换位置
正变换是对原函数f(t)在时间t维度上进行积分
逆变换是在变换后的函数在u维度上进行积分

傅里叶级数

它可以将任何周期信号分解为一个或者多个正弦函数的集合。

其前为：周期信号,其周期为T。若f(t)在一个周期的能量是有限的

可以将f(t)展开为傅立叶级数。计算如下：

F(kw)为傅里叶级数的系数，

或者利用欧拉公式，将原信号展开为正弦函数和的形式。

上式中的k表示第k次谐波。

什么是傅里叶变换

假设周期信号趋向于无穷大，则谱线间隔趋向于无穷小，周期信号变为非周期信号，谱线变成连续。前提是该函数绝对可积。

傅里叶变换为：

其反变换为：

为什么之前说傅里叶变换本质是积分变换呢，这里可以看到傅里叶变换的核函数为：

核函数有两个自变量，t与Ω，一个表征时间，一个表征空间。

傅里叶变换与傅里叶级数的区别

傅立叶级数对应的是周期信号，而傅立叶变换则对应的是一个时间连续可积信号（不一定是周期信号）
傅立叶级数要求信号在一个周期内能量有限，而后者则要求在整个区间能量有限
傅立叶级数的对应是离散的，而傅立叶变换则对应Ω是连续的。

故：

F(jk)代表周期信号的第k次谐波的大小，F(jΩ)则是频谱密度概念。

拉普拉斯变换

那么如果对于函数其傅立叶变换为（这里描述单边拉普拉斯变换）：

上面公式整理如下：

令,则上面的变换

核函数：

傅里叶变换与拉普拉斯区别

拉普拉斯变换，将原函数从时间维度（不一定是时间维度，只是方便理解本文以常见的时间维度信号进行描述），映射为复平面
傅立叶变换是拉普拉斯变换的特例，也即变换核函数时，拉普拉斯变换就变成傅立叶变换了。相当于只取虚部，实部为0.
傅立叶变换是从原维度变换为频率维度，对于信号处理而言相当于将时域信号变换为频域进行分析，为信号处理提供了强大的数学理论基础及工具。
拉普拉斯变换，将原维度变换为复频域，在电子电路分析以及控制理论中，为建立系统的数学描述提供了强大的数学理论基础，学过控制理论的一天到晚都与传递函数打交道，其本质就是拉普拉斯变换对系统的一种数学建模描述。为分析系统的稳定性、可控性提供了数学工具。

什么是Z变换

Z变换的本质是拉普拉斯变换的离散形式。对原信号进行抽样得到离散信号

然后进行拉普拉斯变换：

利用冲激函数特性

Z变换的意义

利用Z变换很快能够将传递函数描述成差分方程形式，为计算机处理提供便利。