集合论

集合： 由指定范围内的满足给定条件的所有对象聚集在一起构成，每个对象成为集合的元素
常用集合： 自然数集合N，整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R
集合表示方法： 枚举法，叙述法，文氏图法
基数： 集合中元素的数量，若基数是有限的，称为有限集，否则称为无限集
全集： 针对特定的研究范围，所有对象的集合
【注】 集合中的元素是无序的，不同的
外延性定理： 两个集合相等，当且仅当它们的元素完全相同
子集： 如果B中的每个元素都是A中的元素，则称B是A的子集，若A≠B，则称B是A的真子集
集合相等证明： A包含于B且B包含于A
幂集： A的所有子集构成的集合叫做A的幂集。记做P(A)={x|x∈A}
等势： 若A，B之间存在一种一一对应的关系，则称A和B等势，记做A∽B
可数集合： A与自然数集合N等势，称为可数集合，记做阿列夫零
不可数集合： 开区间(0,1)称为不可数集合，凡与开区间(0,1)等势的集合称为不可数集合，记为阿列夫

数理逻辑

命题逻辑

概念： 用数学的方法研究逻辑推理的规律
命题： 具有确切真值的陈述句
【注】 推理的前提和结论都是命题，命题是推理的基本单位
复合命题： 可以分解为简单命题的命题
联结词： 否定，合取，析取，蕴含，等价
命题变量（命题变元）： 一个任意的没有赋予具体内容的原子命题是一个变量命题
命题公式： ① 命题变元本身是公式
②若G是公式，则非G也是公式
③若G，H是公式，则包含联结词的G，H也是公式
仅有有限步使用以上规则后得到的包含命题变元，联结词和括号的符号串才是命题公式
解释： 指定公式中所有命题变元的真值
永真公式： 公式G在所有解释下真值都为真，又称为重言式
永假公式： 公式G在所有解释下真值都为假，又称矛盾式
可满足式： 不是永假式的公式
等价公式： 设A和B是两个命题公式，设P1，P2，…，Pn是所有出现于A和B中的原子变元，若给定P1，P2，…，Pn任一组真值指派，A和B的真值都相同，则称A和B是等值的或者等价的，记为A<=>B
等价置换： 将公式A替换为等价的公式B
蕴含式： 设A和B是命题公式，若A->B是永真式，则称A蕴含B
联结词完备集： 设S是一个联结词集，如果任何n(n≥1)个变元组成的公式，都可以由S中的联结词来表示，则称S是联结词完备集
文字： 命题变元或者命题变元的否定
子句： 有限个文字的析取
短语： 有限个文字的合取
析取范式： 有限个短语的析取式
合取范式： 有限个子句的合取式
范式存在定理： 对于任意命题公式，都存在与其等价的析取范式和合取范式
极小项： 含n个命题变元的短语中，若每个命题变元与其否定不同时存在，但二者之一恰好出现一次，并且出现的次序与P1，P2，…，Pn一致
极大项： 含n个命题变元的子句中，若。。。
【注】 极小项只有一组成真赋值，极大项只有一组成假赋值
主析取范式： 给定的析取范式中，每个短语都是极小项，且按编码从小到大的顺序排列
主合取范式： 给定的合取范式中，每个子句都是极大项，且按照编码从小到大的顺序排列
【注】 任何一个公式都有与之等价的主析取范式和主合取范式
永真公式： 主析取范式包含所有的极小项
永假公式： 主合取范式包含所有的极大项
推理： 从一组前提合乎逻辑的推出结论的思维过程
规则P： 在推导过程中，可随时引入前提集合中的任意一个前提
规则T： 在推导的过程中，可以随时引入公式S，该公式S是由其前的一个或多个公式推导出来的逻辑结果
规则CP： 如果能从给定的前提集合F与公式P推导出S，则能从此前提集合F推导出P->S
演绎： 从前提集合F推出结论H的一个演绎是构造命题公式的一个有限序列H1，H2，…,Hn-1,Hn
其中，Hi或者是F中的某个前提，或者是前面某些Hj的有效结论，并且Hn就是H，而称公式H为该演绎的有效结论，或者称从前提F能够演绎出结论H来
演绎方法： 直接证明法，规则CP证明法，间接证明法(反证法，归谬法)

谓词逻辑

概念： 为了研究简单命题句子内部的逻辑关系，我们需要对简单命题进行分解，利用个体词，谓词和量词来描述它们，并研究个体和总体的内在联系和数量关系。
个体词： 在原子命题中，可以独立存在的客体
谓词： 用以刻画客体的性质或客体之间的关系
n元谓词： 设D为非空的个体域，定义在Dn上取值{0,1}的n元函数，记为P(x1,x2,…,xn)
0元谓词： 一般将没有任何个体变量的谓词称为0元谓词
全称量词： 所有的，一切
存在量词： 存在
项： ①任意的常量符号或者变量符号是项
② 若f(x1,x2,…,xn)是n元函数符号，t1,t2,…,tn是项，则f(t1,t2,…,tn)是项
仅由有限次使用以上两个规则产生的符号串才是项
原子公式： 若P(x1,x2,…,xn)是n元谓词，t1,t2,…,tn是项，则P(t1,t2,…,tn)是原子谓词公式
合式公式： ①原子公式是合式公式
②若G，H是合式公式，则包含联结词的G，H是合式公式
③若G是合式公式，x是个体变量，则包含量词的公式G是合式公式
由有限次使用以上三个规则产生的表达式才是合式公式
约束变元： 给定一个合式公式G，若变元x出现在使用变元的量词的辖域之内，则称变元x的出现为约束出现
自由变元： 若x的出现不是约束出现，则称它是自由出现
闭式： 设G是任意一个公式，若G中无自由变元，则称G是封闭的合式公式，闭式是一个命题
前束范式： 如果G中的一切量词都位于该公式的最前端(不含否定词)，且这些量词的辖域都延伸到公式的末端

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