离散数学-集合论-关系的概念、表示和运算（7）

离散数学-关系的概念、表示和运算

0前言

函数是x 到y 的映射，这种映射反就是一种关系。因为定义域x 是一个集合、值域y 也是一个集合所以函数就是一个<x, y> 有序对的集合。因此，我们可以通过二元关系来定义函数的概念，利用有序对的集合来表示函数。

1 有序对与笛卡尔积

1.1 有序对

定义： 由两个元素 x 和 y，按照一定的顺序组成的二元组称为 有序对 ，记作<x,y>。
性质: 1.当x≠y时，有序性 <x,y>≠<y,x>；
2.<x,y>=<u,v>的充分必要条件是x=u且y=v。
例1 <x+2,4> = <5,2x+y>，求 x和 y.
解：由有序对相等的充要条件有：
{ x + 2 = 5 2 x + y = 4 \begin{cases} x+2=5\\ 2x+y=4 \end{cases} {x+2=52x+y=4
解得：x=3,y=-2.

1.2 笛卡尔积

定义设A,B为集合，A与B 的笛卡儿积记作AXB，即 A X B ={ <x,y> | x ∈ \in ∈A ∧ \wedge ∧ y ∈ \in ∈B }
例2 A={a,b},B={0,1,2}则：
AXB={<a,0>,<a,1>,<a,2>,<b,0>,<b,1>,<b,2>}
BXA={<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>}
例3 A={ Ø \text{\O} Ø},P(A)XA
P(A)={{ Ø \text{\O} Ø}}
P(A)XA={< Ø \text{\O} Ø, Ø \text{\O} Ø>,<{ Ø \text{\O} Ø}, Ø \text{\O} Ø>}

1.3 笛卡尔积得性质

(1)不满足交换律 AXB≠BXA (A≠B,A≠ Ø \text{\O} Ø,B≠ Ø \text{\O} Ø)
(2)不满足结合律 (AXB)XC≠AX(BXC) (A≠ Ø \text{\O} Ø,B≠ Ø \text{\O} Ø)
(3)对于并或交运算满足分配律
AX(B∪C)=(AXB)∪(AXC)
(B∪C)XA=(BXA)∪(CXA)
AX(B∩C)=(AXB)∩(AXC)
(B∩C)XA=(BXA)∩(CXA)
(4) A ⊆ \sube ⊆C ∧ \land ∧B ⊆ \sube ⊆D ⇒ \rArr ⇒AXB ⊆ \sube ⊆CXD

证明：
（1）由定义可得：AX Ø \text{\O} Ø= Ø \text{\O} Ø, Ø \text{\O} ØXA= Ø \text{\O} Ø
设A=B
⇒ \rArr ⇒A= Ø \text{\O} Ø ∨ \lor ∨B= Ø \text{\O} Ø
可推出满足交换律
（2）当A= Ø \text{\O} Ø ∨ \lor ∨B= Ø \text{\O} Ø ∨ \lor ∨C= Ø \text{\O} Ø时，结果等于 Ø \text{\O} Ø，满足结合律。
（3）任取<x,y>
<x,y>∈AX(B∪C)
⇔ \Harr ⇔x∈A ∧ \land ∧y∈B∪C
⇔ \Harr ⇔x∈A ∧ \land ∧(y∈B ∨ \lor ∨y∈C)
⇔ \Harr ⇔(x∈A ∧ \land ∧y∈B) ∨ \lor ∨(x∈A ∧ \land ∧y∈C)
⇔ \Harr ⇔<x,y>∈AXB ∨ \lor ∨<x,y>∈AXC
⇔ \Harr ⇔<x,y>∈(AXB)∪(AXC)
所以有AX(B∪C)=(AXB)∪(AXC)

2 关系的定义

2.1 二元关系

定义如果一个集合满足以下条件之一, 则称该集合为一个二元关系, 简称为关系，记作R.
（1）集合非空, 且它的元素都是有序对
（2）集合是空集

如<x,y>∈R, 可记作 xRy；
实例：R={<1,2>,<a,b>}, S={<1,2>,a,b}.
R是二元关系, 当a, b不是有序对时，S不是二元关系。

2.2 A上的二元关系

定义设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系, 当A=B时则叫做 A上的二元关系.

例4 A={0,1}, B={1,2,3}, R1={<0,2>}, R2=A×B, R3={<0,1>}. 那么 R1, R2, R3 是从 A 到 B的二元关系, R3 也是 A上的二元关系.

集合A上的二元关系的数目依赖于A中的元素个数，如果|A|=n, |A×A|= n 2 n^2 n2, A×A的子集有 2 n 2 2^{n^2} 2n2个. 每一个子集代表一个A上的二元关系，所以 A上有 2 n 2 2^{n^2} 2n2个不同的二元关系.
例如 |A|=3, 则 A上有 2 3 2 2^{3^2} 232=512个不同的二元关系.
|A|=m,|B|=n则AXB的元素数|AXB|=mn,AXB有 2 m ⋅ 2 n = 2 m n 2^m·2^n=2^{mn} 2m⋅2n=2mn不同的二元关系。

2.3 关系的类型

空关系：设 A 为任意集合，空集 Ø \text{\O} Ø是 AXA的子集，称为空关系.
全域关系 E A E_A EA： E A E_A EA={<x,y>|x∈A ∧ \land ∧y∈A}=AXA
恒等关系 I A I_A IA： I A I_A IA={<x,x>|x∈A}
小于等于关系 L A L_A LA： L A L_A LA={<x,y>|x,y∈A ∧ \land ∧x≤y},A ⊆ \sube ⊆R,R为实数集
整除关系 D A D_A DA： D A D_A DA={<x,y>|x,y∈B ∧ \land ∧x整除y}，B ⊆ \sube ⊆Z*,Z*为非0整数
包含关系 R ⊆ R_\sube R⊆： R ⊆ R_\sube R⊆={<x,y>|x,y∈A ∧ \land ∧x ⊆ \sube ⊆y},A是集合族

例如, A={1,2}, 则
E A E_A EA={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}
I A I_A IA={<1,1>,<2,2>}
例如A={1,2,3},B={a,b},则
L A L_A LA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,< 3,3>}
D A D_A DA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,< 3,3>}
A=P(B)={ Ø \text{\O} Ø，{a}，{b}，{a,b}}
R ⊆ R_\sube R⊆={< Ø \text{\O} Ø, Ø \text{\O} Ø>，< Ø \text{\O} Ø,{a}>，< Ø \text{\O} Ø,{b}>，< Ø \text{\O} Ø,{a,b}>，<{a},{a}>，<{a},{a,b}>，<{b},{b}>，<{b},{a,b}>，<{a,b},{a,b}>}

2.4 关系表示

关系的表示方式有三种：关系的集合表达式、关系矩阵、关系图。
关系集合表达式：A X B ={ <x,y> | x ∈ \in ∈A ∧ \wedge ∧ y ∈ \in ∈B }
关系矩阵：若A={ a 1 , a 2 , a 3 . . . . . . a m a_1,a_2,a_3......a_m a1,a2,a3......am},B={ b 1 , b 2 , b 3 . . . . . . . b n b_1,b_2,b_3.......b_n b1,b2,b3.......bn}R是从A到B的关系，R的关系是R={ < a 1 , b 1 > ， < a 2 , b 2 > , . . . . . , < a m , b n > <a_1,b_1>，<a_2,b_2>,.....,<a_m,b_n> <a1,b1>，<a2,b2>,.....,<am,bn>}矩阵是:

关系图：若A= { x 1 , x 2 , … , x m x_1, x_2, …, x_m x1,x2,…,xm}，R是从A上的关系，R的关系图是 G R G_R GR=<A, R>, 其中A为结点集，R为边集.如果< x i , x j x_i,x_j xi,xj>属于关系R，在图中就有一条从 x i x_i xi 到 x j x_j xj的有向边.
注意：A, B为有穷集，关系矩阵适于表示从A到B的关系或者A上的关系，关系图适于表示A上的关系。
例如：A={1,2,3,4},R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>},则R的关系矩阵和关系图。

3 关系的运算

3.1 定义域、值域和域,逆,复合

d o m R domR domR={ x ∣ ∃ y ( < x , y > ∈ R ) x|\exists y(<x,y>∈R) x∣∃y(<x,y>∈R)}
r a n R ranR ranR={ y ∣ ∃ y ( < x , y > ∈ R ) y|\exists y(<x,y>∈R) y∣∃y(<x,y>∈R)}
f l d R = d o m R ∪ r a n R fldR=domR∪ranR fldR=domR∪ranR
R − 1 R^{-1} R−1={ < x , y > ∣ < x , y > ∈ R <x,y>|<x,y>∈R <x,y>∣<x,y>∈R}
R ∘ S R\circ S R∘S={ < x , z > ∣ ∃ y ( < x , y > ∈ R ∧ < y , z > ∈ S ) <x,z>|\exists y(<x,y>∈R\land<y,z>∈S) <x,z>∣∃y(<x,y>∈R∧<y,z>∈S)}

例如：R={<1，2>，<1，3>，<2，4>，<4，3>}
d o m R domR domR={1，2，4} 每个有序对的第一个值
r a n R ranR ranR={2，3，4} 每个有序对的第二个值
f l d R fldR fldR={1,2,3,4}
R − 1 R^{-1} R−1={<2，1>，< 3，1>，<4，2>，< 3，4>} 有序对的第一个值和第二个值颠倒
设S={<2,5>,< 3,4>}
R ∘ S R\circ S R∘S={<1,5>,<1,4>,<4,4>} 即R中的<1,2>和S中的<2,5>复合可得<1,5>; <1,3><3,4 >复合<1,4>

3.2 限制与像
（1）R在A上的限制记作R ↾ \upharpoonright ↾A，其中：R ↾ \upharpoonright ↾A={<x,y>|xRy ∧ \land ∧x∈A}
（2）A在R下的像记作R[A],其中R[A]=ran(R ↾ \upharpoonright ↾A)
例如：R={<1,2>，<1，3>，<2，2>，<2，4>，< 3，2>}则
    R ↾ \upharpoonright ↾{1}={<1,2>,<1,3>}  x值为1的有序对
    R ↾ \upharpoonright ↾ Ø \text{\O} Ø= Ø \text{\O} Ø
    R ↾ \upharpoonright ↾{2,3}={<2,2>,<2,4>,< 3,2>}  x值为2或3的有序对
    R[{1}]=ran(R ↾ \upharpoonright ↾{1})={2,3}  R ↾ \upharpoonright ↾{1}中有序对的值域
    R[ Ø \text{\O} Ø]= Ø \text{\O} Ø
    R[{3}]={2}  其中R ↾ \upharpoonright ↾{3}={< 3,2>}，结果为其值域

3.2 关系中的恒等式
⧫ \blacklozenge ⧫设 F F F是任意的关系，则：
（1）( F − 1 ) − 1 F^{-1})^{-1} F−1)−1= F F F
（2） d o m F − 1 = r a n F , r a n F − 1 = d o m F domF^{-1}=ranF,ranF^{-1}=domF domF−1=ranF,ranF−1=domF
证：（1）任取<x,y>,由逆的定义有：
<x,y>∈ ( F − 1 ) − 1 (F^{-1})^{-1} (F−1)−1 ⇔ \Harr ⇔<y,x>∈ F − 1 F^{-1} F−1 ⇔ \Harr ⇔<x,y>∈ F F F
所以有( F − 1 ) − 1 F^{-1})^{-1} F−1)−1= F F F。
（2）任取 x x x
x x x∈ d o m F − 1 domF^{-1} domF−1 ⇔ \Harr ⇔ ∃ \exists ∃y(<x,y>∈ F − 1 F^{-1} F−1) ⇔ \Harr ⇔ ∃ \exists ∃y(<y,x>∈ F F F) ⇔ \Harr ⇔ x ∈ r a n F x∈ranF x∈ranF
所以有 r a n F − 1 = d o m F ranF^{-1}=domF ranF−1=domF

⧫ \blacklozenge ⧫设 F , G , H F,G,H F,G,H是任意的关系，则：
（3） ( F ∘ G ) ∘ H (F\circ G)\circ H (F∘G)∘H= F ∘ ( G ∘ H ) F\circ (G\circ H) F∘(G∘H)
（4） ( F ∘ G ) − 1 (F\circ G)^{-1} (F∘G)−1= G − 1 ∘ F − 1 G^{-1}\circ F^{-1} G−1∘F−1
证：（3）任取<x,y>,
<x,y>∈ ( F ∘ G ) ∘ H (F\circ G)\circ H (F∘G)∘H
⇔ \Harr ⇔ ∃ t ( < x , t > ∈ F ∘ G ∧ < t , y > ∈ H ) \exists t(<x,t>∈F\circ G\land<t,y>∈H) ∃t(<x,t>∈F∘G∧<t,y>∈H)
⇔ \Harr ⇔ ∃ t ( ∃ s ( < x , s > ∈ F ∧ < s , t > ∈ G ) ∧ < t , y > ∈ H ) \exists t(\exists s(<x,s>∈F\land<s,t>∈ G)\land<t,y>∈H) ∃t(∃s(<x,s>∈F∧<s,t>∈G)∧<t,y>∈H)
⇔ \Harr ⇔ ∃ t ∃ s ( < x , s > ∈ F ∧ < s , t > ∈ G ∧ < t , y > ∈ H ) \exists t\exists s(<x,s>∈F\land<s,t>∈ G\land<t,y>∈H) ∃t∃s(<x,s>∈F∧<s,t>∈G∧<t,y>∈H)
⇔ \Harr ⇔ ∃ s ( < x , s > ∈ F ∧ ∃ t ( < s , t > ∈ G ∧ < t , y > ∈ H ) \exists s(<x,s>∈F\land\exists t(<s,t>∈ G\land<t,y>∈H) ∃s(<x,s>∈F∧∃t(<s,t>∈G∧<t,y>∈H)
⇔ \Harr ⇔ ∃ s ( < x , s > ∈ F ∧ < s , y > ∈ G ∘ H ) \exists s(<x,s>∈F\land<s,y>∈G\circ H) ∃s(<x,s>∈F∧<s,y>∈G∘H)
⇔ \Harr ⇔<x,y>∈ F ∘ ( G ∘ H ) F\circ (G\circ H) F∘(G∘H)
所以 ( F ∘ G ) ∘ H (F\circ G)\circ H (F∘G)∘H= F ∘ ( G ∘ H ) F\circ (G\circ H) F∘(G∘H)
（4）任取<x,y>,
<x,y>∈ ( F ∘ G ) − 1 (F\circ G)^{-1} (F∘G)−1
⇔ \Harr ⇔<y,x>∈ ( F ∘ G ) (F\circ G) (F∘G)
⇔ \Harr ⇔ ∃ t ( < y , t > ∈ F ∧ < t , x > ∈ G ) \exists t(<y,t>∈F\land<t,x>∈G) ∃t(<y,t>∈F∧<t,x>∈G)
⇔ \Harr ⇔ ∃ t ( < x , t > ∈ G − 1 ∧ < t , y > ∈ F − 1 ) \exists t(<x,t>∈G^{-1}\land<t,y>∈F^{-1}) ∃t(<x,t>∈G−1∧<t,y>∈F−1)
⇔ \Harr ⇔<x,y>∈ G − 1 ∘ F − 1 G^{-1}\circ F^{-1} G−1∘F−1
所以： ( F ∘ G ) − 1 (F\circ G)^{-1} (F∘G)−1= G − 1 ∘ F − 1 G^{-1}\circ F^{-1} G−1∘F−1

⧫ \blacklozenge ⧫设R为A上的关系则：
（5） R ∘ I A R\circ I_A R∘IA= I A ∘ R I_A\circ R IA∘R= R R R
证：任取<x,y>
<x,y>∈ R ∘ I A R\circ I_A R∘IA
⇔ \Harr ⇔ ∃ t ( < x , t > ∈ R ∧ < t , y > ∈ I A ) \exists t(<x,t>∈R\land<t,y>∈I_A) ∃t(<x,t>∈R∧<t,y>∈IA)
⇔ \Harr ⇔ ∃ t ( < x , t > ∈ R ∧ t = y ∧ y ∈ A ) \exists t(<x,t>∈R\land t=y\land y∈A) ∃t(<x,t>∈R∧t=y∧y∈A)
⇔ \Harr ⇔<x,y>∈ R R R

⧫ \blacklozenge ⧫设 F , G , H F,G,H F,G,H的任意关系，则：
（6） F ∘ ( G ∪ H ) = F ∘ G ∪ F ∘ H F\circ (G∪H)=F\circ G∪F\circ H F∘(G∪H)=F∘G∪F∘H
（7） ( G ∪ H ) ∘ F = G ∘ F ∪ H ∘ F (G∪H)\circ F=G\circ F∪H\circ F (G∪H)∘F=G∘F∪H∘F
（8） F ∘ ( G ∩ H ) ⊆ F ∘ G ∩ F ∘ H F\circ (G∩H)\sube F\circ G∩F\circ H F∘(G∩H)⊆F∘G∩F∘H
（9） ( G ∩ H ) ∘ F ⊆ G ∘ F ∩ H ∘ F (G∩H)\circ F \sube G\circ F∩H\circ F (G∩H)∘F⊆G∘F∩H∘F
证：（8）任取<x,y>,
<x,y>∈ F ∘ ( G ∩ H ) F\circ (G∩H) F∘(G∩H)
⇔ \Harr ⇔ ∃ t ( < x , t > ∈ F ∧ < t , y > ∈ G ∩ H ) \exists t(<x,t>∈F\land<t,y>∈G∩H) ∃t(<x,t>∈F∧<t,y>∈G∩H)
⇔ \Harr ⇔ ∃ t ( < x , t > ∈ F ∧ < t , y > ∈ G ∧ < t , y > ∈ H ) \exists t(<x,t>∈F\land<t,y>∈G\land <t,y>∈H) ∃t(<x,t>∈F∧<t,y>∈G∧<t,y>∈H)
⇔ \Harr ⇔ ∃ t ( ( < x , t > ∈ F ∧ < t , y > ∈ G ) ∧ ( < x , t > ∈ F ∧ < t , y > ∈ H ) ) \exists t((<x,t>∈F\land<t,y>∈G)\land (<x,t>∈F\land<t,y>∈H)) ∃t((<x,t>∈F∧<t,y>∈G)∧(<x,t>∈F∧<t,y>∈H))
⇔ \Harr ⇔ ∃ t ( < x , t > ∈ F ∧ < t , y > ∈ G ) ∧ ∃ t ( < x , t > ∈ F ∧ < t , y > ∈ H ) \exists t(<x,t>∈F\land<t,y>∈G)\land \exists t(<x,t>∈F\land<t,y>∈H) ∃t(<x,t>∈F∧<t,y>∈G)∧∃t(<x,t>∈F∧<t,y>∈H)
⇔ \Harr ⇔<x,y>∈ F ∘ G ∧ < x , y > ∈ F ∘ H F\circ G\land<x,y>∈F\circ H F∘G∧<x,y>∈F∘H
⇔ \Harr ⇔<x,y>∈ F ∘ G ∩ F ∘ H F\circ G∩F\circ H F∘G∩F∘H
所以有 F ∘ ( G ∩ H ) ⊆ F ∘ G ∩ F ∘ H F\circ (G∩H)\sube F\circ G∩F\circ H F∘(G∩H)⊆F∘G∩F∘H

⧫ \blacklozenge ⧫设F为关系，A,B为集合，则：
（10）F ↾ \upharpoonright ↾(A∪B)=F ↾ \upharpoonright ↾A∪F ↾ \upharpoonright ↾B
（11）F[A∪B]=F[A]∪F[B]
（12）F ↾ \upharpoonright ↾(A∩B)=F ↾ \upharpoonright ↾A∩F ↾ \upharpoonright ↾B
（13）F[A∩B]=F[A]∩F[B]
证：（11）任取<x,y>
<x,y>∈F ↾ \upharpoonright ↾(A∪B)
⇔ \Harr ⇔<x,y>∈ F ∧ x ∈ A ∪ B F\land x∈A∪B F∧x∈A∪B
⇔ \Harr ⇔<x,y>∈ F ∧ ( x ∈ A ∨ x ∈ B ) F\land (x∈A\lor x∈B) F∧(x∈A∨x∈B)
⇔ \Harr ⇔(<x,y>∈ F ∧ x ∈ A ) ∨ F\land x∈A)\lor F∧x∈A)∨ ( < x , y > ∈ F ∧ x ∈ B ) (<x,y>∈F\land x∈B) (<x,y>∈F∧x∈B)
⇔ \Harr ⇔(<x,y>∈F ↾ \upharpoonright ↾A) ∨ \lor ∨(<x,y>∈F ↾ \upharpoonright ↾B)
⇔ \Harr ⇔(<x,y>∈F ↾ \upharpoonright ↾A∪F ↾ \upharpoonright ↾B
所以有F ↾ \upharpoonright ↾(A∪B)=F ↾ \upharpoonright ↾A∪F ↾ \upharpoonright ↾B
（13）任取y,
y∈F[A∩B]
⇔ \Harr ⇔ ∃ x ( < x , y > ∈ F ∧ x ∈ A ∩ B ) \exists x(<x,y>∈F\land x∈A∩B) ∃x(<x,y>∈F∧x∈A∩B)
⇔ \Harr ⇔ ∃ x ( < x , y > ∈ F ∧ x ∈ A ∧ x ∈ B ) \exists x(<x,y>∈F\land x∈A\land x∈B) ∃x(<x,y>∈F∧x∈A∧x∈B)
⇔ \Harr ⇔ ∃ x ( ( < x , y > ∈ F ∧ x ∈ A ) ∧ \exists x((<x,y>∈F\land x∈A)\land ∃x((<x,y>∈F∧x∈A)∧ ( < x , y > ∈ F ∧ x ∈ B ) ) (<x,y>∈F\land x∈B)) (<x,y>∈F∧x∈B))
⇔ \Harr ⇔ ∃ x ( ( < x , y > ∈ F ∧ x ∈ A ) ∧ \exists x((<x,y>∈F\land x∈A)\land ∃x((<x,y>∈F∧x∈A)∧ ∃ x ( < x , y > ∈ F ∧ x ∈ B ) ) \exists x(<x,y>∈F\land x∈B)) ∃x(<x,y>∈F∧x∈B))
⇔ \Harr ⇔y∈F[A] ∧ \land ∧y∈F[B]
⇔ \Harr ⇔y∈F[A]∩F[B]
所以有F[A∩B]=F[A]∩F[B]

3.3 关系的幂运算
定义：
设R为A上的关系，n为自然数，则R的n次幂定义为：
（1） R 0 R^0 R0={<x,x>|x∈A}= I A I_A IA
（2） R n + 1 R^{n+1} Rn+1= R n ∘ R R^n\circ R Rn∘R
注意：
对于A上的任何关系 R 1 R_1 R1和 R 2 R_2 R2都有 R 1 0 = R 2 0 = I A R^0_1=R^0_2=I_A R10=R20=IA
对于A上的任何关系R都有 R 1 = R 0 ∘ R = I A ∘ R = R R^1=R^0\circ R=I_A\circ R=R R1=R0∘R=IA∘R=R

例如，设A={a,b,c,d},R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>},求R的各次幂，分别用关系矩阵和关系图表示。
解：R的关系矩阵为：
M = [ 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ] M= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} M= 0100100001000010
则 R 2 , R 3 , R 4 R^2,R^3,R^4 R2,R3,R4的关系矩阵分别是:
M 2 = [ 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ] [ 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ] = [ 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ] M^2= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} M2= 0100100001000010 0100100001000010 = 1000010010000100
M 3 = M 2 M = [ 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ] [ 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ] = [ 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] M^3=M^2M= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} M3=M2M= 1000010010000100 0100100001000010 = 0100100001001000
M 4 = M 3 M = [ 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] [ 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ] = [ 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ] M^4=M^3M= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} M4=M3M= 0100100001001000 0100100001000010 = 1000010010000100
因此 M 4 = M 2 M^4=M^2 M4=M2,即 R 4 = R 2 R^4=R^2 R4=R2，由此可以得到：
R 2 = R 4 = R 6 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ R2=R4=R6=····· R2=R4=R6=⋅⋅⋅⋅⋅
R 3 = R 5 = R 7 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ R3=R5=R7=····· R3=R5=R7=⋅⋅⋅⋅⋅
而R^0,即IA的关系矩阵是
M 0 = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] M^0= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} M0= 1000010000100001
用关系图的方法得到 R 0 , R 1 , R 2 , R 3 R^0,R^1,R^2,R^3 R0,R1,R2,R3等的关系图。

性质：

设A为n元集，R是A上的关系，则存在自然数s和t，使得 R s = R t R^s=R^t Rs=Rt
设R是A上的关系，m,n∈N，则
R m ∘ R n = R m + n R^m\circ R^n=R^{m+n} Rm∘Rn=Rm+n
( R m ) n = R m n (R^m)^n=R^{mn} (Rm)n=Rmn