从数理逻辑观点看计算机专业的理论基础探讨

从数理逻辑观点看计算机专业的理论基础探讨计从数理逻辑观点看计算机专业的理论基础探讨算机科学与技术学科包括计算机系统结构、计算机软件与理论、计算机应从数理逻辑观点看计算机专业的理论基础探讨用技术。一般地说，研究型计算机学院将按一级学科设置专业。离散从数理逻辑观点看计算机专业的理论基础探讨数学是计算机专业的基础理论，包括数理逻辑、集合论、图论、代数系统、从数理逻辑观点看计算机专业的理论基础探讨形式语言与自动机等，对于计算机体系结构、计算机软件与理论和计算机应用从数理逻辑观点看计算机专业的理论基础探讨技术等核心课程的起着重要作用。 本文将从数理逻辑观点看计从数理逻辑观点看计算机专业的理论基础探讨算机系统结构、计算机软件与理论和计算机应用技术的核心课程，以从数理逻辑观点看计算机专业的理论基础探讨此探讨数理逻辑的理论基础作用。 1 公理从数理逻辑观点看计算机专业的理论基础探讨系统及数理逻辑简介 亚里土多德在逻辑史从数理逻辑观点看计算机专业的理论基础探讨上第一次应用了形式化、公理化的演绎系统，类似自然演绎系统，为逻辑从数理逻辑观点看计算机专业的理论基础探讨的形式化开了先河。亚里士多德关于演绎证明的逻辑结构给出基本概念，通从数理逻辑观点看计算机专业的理论基础探讨过定义派生概念；给出公理或公设，通过逻辑证明定理。这种由初始概念从数理逻辑观点看计算机专业的理论基础探讨、定义、公理、推理规则、定理等所构成的演绎体系，称为公理系统从数理逻辑观点看计算机专业的理论基础探讨。 欧几里德整理、总结和发展了希腊古典时期的大量数学从数理逻辑观点看计算机专业的理论基础探讨知识，形成了《几何原本》 。实质公理系统，给出点、线、面、角等 23 从数理逻辑观点看计算机专业的理论基础探讨个原始定义概念，给出 5 条公设、5 条公理，由公理公设出发加以证明从数理逻辑观点看计算机专业的理论基础探讨了 467 定理。这也标志着公理学的产生，是实质公理学的典范。 从数理逻辑观点看计算机专业的理论基础探讨 俄国数学家罗巴切夫斯基提出从直线外一点，至少可以做两条直线和从数理逻辑观点看计算机专业的理论基础探讨这条直线平行公理，从而发现了锐角非欧几何；1854 年黎曼提出在同从数理逻辑观点看计算机专业的理论基础探讨一平面内任何两条直线都有交点公理，从而发现了钝角非欧几何。非从数理逻辑观点看计算机专业的理论基础探讨欧几何从直观的空间上升到抽象空间，使得人们认识到区分感性直观与科学从数理逻辑观点看计算机专业的理论基础探讨抽象的重要性。 弗雷格第一个严格的关于逻辑规律的公理系统。从数理逻辑观点看计算机专业的理论基础探讨在 1879 年出版了著作《概念文字：一种模仿算术语言构造的纯思维的从数理逻辑观点看计算机专业的理论基础探讨形式语言》 ，他完备地发展了命题演算和谓词演算，第一次把谓词演从数理逻辑观点看计算机专业的理论基础探讨算形式化，标志着数理逻辑的发展由创建时期进入奠基时期。从数理逻辑观点看计算机专业的理论基础探讨 皮亚诺提出了自然数算术的一个公理系统用逻辑演算表述数学、推导数学。关于自然数论的五个公理一直沿用到现在，成为自然数论的出发点。 罗素(B.Russell)继承皮亚诺的研究，完备了命题演算和谓词演算的成果，以集合论为基础，对自然数作出定义，证明自然数满足皮亚诺的五个公理。罗素总结了数理逻辑的成果，和怀特海合著了《数学原理》 ，他的成果汇集成为一本巨著，奠定了数学的基础。 希尔伯特 1899 年的《几何基础》 ，第一个逻辑理论问题是公理的无矛盾性，在实数的算术理论中为欧氏几何构造一个模型，这实际上就是笛卡儿几何，在此模型中欧几里德何五组公理都真；第二个逻辑理论问题是公理的相互几独立性，利用模型方法作出了证明。 《几何基础》已经发展成为一个形式公理系统。 《几何原本》里，点线面都有定义。在《几何基础》里，这三个概念没有定义，也没有直观的解释，这是形式公理方法的特征。由于《几何基础》的基本概念没有直观的具体内容，这个系统可以有各种不同的解释即模型。 1931 年， 《关于数学原理》一书证明了数理逻辑的不完全定理。在数理逻辑发展史上具有划时代意义。哥德尔完全性定理，哥德尔不完全性定理，给出包括自然数公理的系统一定时不完备的，即一定存在逻辑真的公式，是不可证明的。 欧内斯特·内格尔在《科学的结构》中提出四种科学说明的模式：演绎模型、或然性说明、功能性说明以及发生学说明。在科学说明中，演绎模型是最重要的方法之一。鲁道夫·卡尔纳普《世界的逻辑构造》中，提出构造系统的任务要把一切概念都从某些基本概念中逐步地引导出来，形成概念系谱。一种理论的公理化就在于：这个理论的全部命题都被安排在以公理为其基础的演绎系统中，这个理论的全部概念都被安排在以基本概念为其基础的构造系统中。 在人类发展过程中，数理逻辑是最重要的系统的知识表示和科学说明方法，从而形成概念系谱，获得可靠定理。数理逻辑是计算机专业的基础理论，本文将讨论它也是计算机专业的理论基础。 2 逻辑公理系统 2.1 逻辑公理系统 逻辑公理系统有初始符号、公式规则、公理以及推导规则四部分。 (1) 初始符号 个体变元x1, x2, … 个体常元 c1, c2 , … 函数符号：f11, f21, ；f12, f22,； 谓词符号：P11,P 21,； P 12, P 22,; 逻辑常项：“, , ； 逗号：, ; 括号：(, ) (2) 项和公式 个体常元是项； 个体变元是项； 若是 t1,…,tn 项，则是 f i (t1,…,tn)项。 若是 t1,…,tn 项，则Pi(t1,…,tn)是公式。 若 A 是公式，则(A)是公式； 若 A 和 B 是公式，则(AB)是公式； 若 A 是公式，则(“xA) 是公式。 (3) 公理 公理模式 A 1：P (QP)肯定后件律 公理模式 A 2：(P (QR)) ((PQ) (PR))蕴含词分配律 公理模式 A 3：(PQ) (QP) 换位律 公理模式 A 4：“xPPtx其中，项 t 对于 P 中的 x 是自由的。 公理模式 A 5：“x( PQ) (P“xQ)其中 x 不是 P 中自由变元。 (4) 推导规则 分离规则(简称 MP 规则 )：从 P 和 PQ 推出 Q。 概括规则(简称 UG 规则) ：从 P 推出(“xP)。 2.2 证明与定理 定义设 Γ 是公式集。如果公式序列 A1,A2,…An中的每个公式 Ai 满足以下条件之一，则称它为 An 的从 Γ 的一个推演( 演绎)。其中 Γ 称为推演的前提集，称 An 为结论，记为 Γ├ An 。 (1) Ai 是公理； (2) AiΓ； (3) 有 j, k (4) 有 j 定义 如果├A，则 A 是定理。 希尔伯特给出的证明论告诉我们，一个证明是一个有穷序列，它的每一步或者是公理、或者是前提或者是推导规则产生的公式。歌德尔不完全性定理证明表明，不存在一个通用算法，判定任意公式是否是定理的证明。因此，定理的证明一定依靠人的洞察力、