随机信号分析基础——例题篇（例题3.4）

书籍参考：随机信号分析基础——王永德、王军（第五版）

1、讨论各态历经性，本质是对样本函数在一定有效观察时间上取时间平均。

随机过程X(t)时间平均、时间自相关函数定义式如下：

x(t)‾=lim⁡T⟶∞(1/2T)∫−∞+∞x(t)dt\overline{x(t)}={\lim}_{T\longrightarrow\infty}(1/2T)\int_{-\infty}^{{+\infty}}x(t)dtx(t)=limT⟶∞(1/2T)∫−∞+∞x(t)dt
x(t)x(t+τ)‾=lim⁡T⟶∞(1/2T)∫−∞+∞x(t)x(t+τ)dt\overline{x(t)x(t+\tau)}={\lim}_{T\longrightarrow\infty}(1/2T)\int_{-\infty}^{{+\infty}}x(t)x(t+\tau)dtx(t)x(t+τ)=limT⟶∞(1/2T)∫−∞+∞x(t)x(t+τ)dt

从公式可以看到时间平均中观测时间越长越好，趋于无穷无限长。但实际上是不可能做到无限长的时间，所以必须选择到一个有效的有限时间T，在这个时间内进行观测。
于是有效观测时间T就替代了无穷∞\infty∞。

2、但是如何获得有效观测时间呢？

当信号衰减到只能观测到直流成分aaa时，就得到了有效的观测时间T，因为只有交流成分才包含有用信息。通过选择dtdtdt离散时间序列，求出均值(也就是直流成分）比对aaa，如果相等说明dtdtdt有效，随之确定了有效的采样间隔dtdtdt。

3、图中题目上已经解答出来了，只需要将T替换无穷进行计算。
当x(t)‾=E[X(t)]=mX\overline{x(t)}=E[X(t)]=m_Xx(t)=E[X(t)]=mX，x(t)x(t+τ)‾=E[X(t)X(t+τ)]=RX(τ)\overline{x(t)x(t+\tau)}=E[X(t)X(t+\tau)]=R_X(\tau)x(t)x(t+τ)=E[X(t)X(t+τ)]=RX(τ)
则说明X(t)满足宽各态历经，低维的所以是宽。

4、满足各态历经性为什么抗干扰性弱？

一、各态历经性内涵：在宽平稳条件，使用单样本的时间平均来代替多样本的统计平均。

就如上面的例子，该随机过程X(t)满足各态历经性，只需要使用一个延时器，一个乘法器、加一个低通滤波器就可以得到其时间自相关函数，而自相关函数包含所有信息。所以抗干扰性弱。

二、延时器获得X(t+τ)X(t+\tau)X(t+τ)，乘法器获得X(t+τ)X(t)X(t+\tau)X(t)X(t+τ)X(t)，低通滤波器是进行时间平均，通过调节延时τ\tauτ，就能测量得到时间自相关函数x(t)x(t+τ)‾\overline{x(t)x(t+\tau)}x(t)x(t+τ)，而RX(τ)=x(t)x(t+τ)‾R_X(\tau)=\overline{x(t)x(t+\tau)}RX(τ)=x(t)x(t+τ)。

平稳过程的自相关函数为核心数字特征也是随机过程分析的目标，一个确定的时间函数，其包括交流信息也包括直流信息。得到了自相关函数就获得了随机过程的信息。

5、使用时间平均的优缺点在哪？

缺点：使用有效的时间来替代无限长的时间，这会给结果带来一定误差。
优点：避免了统计平均中不可能实现的充足样本、复杂的处理方法、很大的实验工作量，样本不需要充足单样本即可。

结语：如何得到有效观测时间？
根据上面理论，当观测到直流分量时，但根据随机序列的收敛性，序列实际上永远不会衰减为一个常数，那么如何得到？实际上是利用柯西准则。

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