随机信号分析基础——例题篇(例题2.1)
书籍参考:随机信号分析基础——王永德、王军(第五版)
上面就是例题以及题目所求的自相关函数了。题目要求很简单,但是仅此而已吗?
自相关函数是二维函数,由自相关函数公式,我们知道它包含直流分量、交流分量。从信号的特征来讲,它包含快慢的信息不包含强度。
1、从上面求出的RxR_xRx自相关函数是否是有意义的?如何判断?
求出的RxR_xRx是否有意义,必须建立在你的样本数m,以及选择采样时间的间隔选择τ\tauτ是否有效?
2、m的有效性如何判断呢?
我们知道期望mx(t)=E[(X(t)]m_x(t)=E[(X(t)]mx(t)=E[(X(t)]是所有的样本在时间t的统计平均,是直流成分。
那么无论是哪一个时刻,一个电功率电路它的直流成分应该是相等的、保持不变的。
两者相等,我们可以下一个结论:样本数m=4经过初步检验有效。
这个说明m在这一步检验有效。能高枕无忧了吗?
m在直流有效,能说整体有效吗?别忘了电路系统里面还有交流成分。
3、一维里面有三个特征函数,期望、均方值、方差(概念遗忘的可以参考我之前的文章)。期望是直流成分、均方值既包括直流又包括交流,它是功率。那么检验交流成分只剩下方差,而方差恰好剔除了直流成分只剩下交流成分。
两个时刻的方差不相等,说明交流功率不相等。如果是同一个信号,在足够的样本下统计平均它的交流信号应该相等。
不相等是什么原因?说明你观测的样本数不够,至此我们可以下结论了:m=4无效,样本数不够。
改进方法:增大样本数m,最好让m越多越好,那么m的范围就是趋于无穷大。
4、二维有两个函数,一个自相关,一个协方差函数CX(t1,t2)C_X(t1,t2)CX(t1,t2)
由定义式可知:它剔除了直流成分,既包含强度,又包含快慢。
它只代表交流成分。
CX(t1,t2)C_X(t1,t2)CX(t1,t2)只代表交流成分,竟然小于0,这说明了什么?
说明RxR_xRx小了,回顾RxR_xRx,它的由来是描述两个相邻时刻的相关性,它越大代表相关性越强。
RxR_xRx小了说明t1,t2t_1,t_2t1,t2之间的相关性弱,说明两个之间间隔大了,从而说明采样间隔τ\tauτ选大了。说明这两个时刻选择是无效的。
也间接说明了tnt_ntn无效,那么就是n无效。
改进:减小τ\tauτ,使得τ\tauτ趋向于0,从而这个t_2就趋向于无穷了。
5、附:
方差可以由上面之间求,也可以通过均方值来间接求,而且间接求更加简单。
通过均方值减去期望的平方就是方差。
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