通信原理随机信号分析

通信原理第二章随机信号分析

一随机过程

定义

测试n台性能相同的接收机，在同样条件下，不加信号测试其输出噪声，波形如图

（１）每一条曲线 ξi(t)\xi_i(t)ξi(t) 都是一个随机起伏的时间函数——样本函数（确知信号），ξi(t)\xi_i(t)ξi(t) 称之为随机过程ξ(t)\xi(t)ξ(t)的一个实现／样本。这是对于其中一台接收机观察。

（２）全体样本函数的集合称作随机过程 ξ(t)\xi(t)ξ(t)。
ξ(t)={ξ1(t),ξ2(t),...,ξn(t)}\xi(t)=\{ \xi_1(t),\xi_2(t),...,\xi_n(t)\}ξ(t)={ξ1(t),ξ2(t),...,ξn(t)}

（３）在某一特定时刻 t1t_1t1观察各台接收机的输出噪声值 ξ(t1)\xi(t_1)ξ(t1) ，此时所有的输出噪声值是随机过程ξ(t)\xi(t)ξ(t)一个随机量（随机变量)：
ξ(t1)={ξ1(t1),ξ2(t1),...,ξn(t1)}\xi(t_1)=\{\xi_1(t_1),\xi_2(t_1),...,\xi_n(t_1)\}ξ(t1)={ξ1(t1),ξ2(t1),...,ξn(t1)}

因此，随机过程 ξ( ｔ) 是由无穷多个随机变量构成的。
ξ(t)={ξ(t1)+ξ(t2)+...+ξ(tn)+...}\xi(t)=\{\xi(t_1)+\xi(t_2)+...+\xi(t_n)+...\}ξ(t)={ξ(t1)+ξ(t2)+...+ξ(tn)+...}

数字特征

名称	定义	含义
均值	a(t)=E[ξ(t)]=∫−∞+∞xf1(x,t)dxa(t)=E[\xi(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty}xf_1(x,t)\,dxa(t)=E[ξ(t)]=∫−∞+∞xf1(x,t)dx	随机过程的摆动中心；均值的平方是直流功率
均方值	E[ξ2(t)]=∫−∞+∞x2f1(x,t)dxE[{\xi^2(t)}]=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2f_1(x,t)\,dxE[ξ2(t)]=∫−∞+∞x2f1(x,t)dx	随机过程的平均功率
方差	D[ξ(t)]=E{[ξ(t)−a(t)]2}=E[ξ2(t)]−a2(t)=σ2(t)D[\xi(t)]=E\{[\xi(t)-a(t)]^2\}=E[\xi^2(t)]-a^2(t)=\sigma^2(t)D[ξ(t)]=E{[ξ(t)−a(t)]2}=E[ξ2(t)]−a2(t)=σ2(t)	随机过程的交流功率，相对于均值的振动程度
自相关函数	R(t1,t2)=E[ξ(t1)ξ(t2)]=∫−∞+∞∫−∞+∞x1x2f2(x1,x2;t1,t2)dt1dt2=R(t1,t1+τ)R(t_1,t_2)=E[\xi(t_1)\xi(t_2)]=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}x_1x_2f_2(x_1,x_2;t_1,t_2)\,dt_1dt_2=R(t_1,t_1+\tau)R(t1,t2)=E[ξ(t1)ξ(t2)]=∫−∞+∞∫−∞+∞x1x2f2(x1,x2;t1,t2)dt1dt2=R(t1,t1+τ)	同一随机过程在两个不同时刻的随机变量之间的关联程度
互相关函数	Rξη(t1,t2)=E[ξ(t1)η(t2)]=Rξη[t1,t1+τ]R_{\xi\eta}(t_1,t_2)=E[\xi(t_1)\eta(t_2)]=R_{\xi\eta}[t_1,t_1+\tau]Rξη(t1,t2)=E[ξ(t1)η(t2)]=Rξη[t1,t1+τ]	两个随机过程在两个不同时刻的随机变量之间的关联程度

平均功率=直流功率+交流功率

上表中ξ(t)\xi(t)ξ(t)是随机变量，其中的ttt取任意时刻.

二平稳随机过程

平稳随机过程

名称	定义	性质
严平稳	随机过程 ξ(t)\xi(t)ξ(t) 的任意ｎ维分布与时间起点无关	一维分布与时间t无关；二维分布只与时间间隔τ\tauτ有关
广义平稳	a(t)=a，R(t1,t1+τ)=R(τ)a(t)=a，R(t_1,t_1+\tau)=R(\tau)a(t)=a，R(t1,t1+τ)=R(τ)	数学期望是个常数，和时间t无关；自相关函数只与时间间隔τ\tauτ有关
两者关系	严平稳一定是广义平稳	广义平稳不一定是严平稳

各态历经性

任取平稳随机过程 ξ(t)\xi(t)ξ(t)的任一样本函数 x(t)x(t)x(t),其时间均值和时间自相关满足
a‾=x(t)‾=lim⁡T→∞1T∫−T/2T/2x(t)dt=a\overline{a}=\overline{x(t)}=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(t)\,dt=aa=x(t)=T→∞limT1∫−T/2T/2x(t)dt=a
R(τ)‾=x(t)x(t+τ)‾=lim⁡T→∞1T∫−T/2T/2x(t)x(t+τ)dt=R(τ)\overline{R(\tau)}=\overline{x(t)x(t+\tau)}=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(t)x(t+\tau)\,dt=R(\tau)R(τ)=x(t)x(t+τ)=T→∞limT1∫−T/2T/2x(t)x(t+τ)dt=R(τ)
则称平稳随机过程 ξ(t)\xi(t)ξ(t)具有各态历经性。

意义：可用任意一次实现的“样本平均”来取代随机过程的“统计平均”，可用任意一次实现的功率谱密度来取代随机过程的功率谱密度，简化测量和计算问题；具有各态历经性的随机过程一定是平稳随机过程，反之不一定成立。

三高斯过程

（１）定义：任意ｎ维概率密度都服从正态分布的随机过程。
（２）重要性质：

高斯过程若广义平稳，则必狭义平稳；
高斯过程中的随机变量之间若不相关，则它们统计独立；
若干个高斯过程之和仍是高斯过程；
高斯过程经线性变换后，仍是高斯过程。

均值为a，方差为σ2\sigma^2σ2的高斯过程的一维概率密度函数

当均值a=0，标准擦σ=1\sigma=1σ=1时，称f(x)f(x)f(x)为标准正态分布函数

下面给出一些常用的求通信系统的误码率的函数
Q函数、误差函数、互补误差函数，定义如下

Q(α)Q(\alpha)Q(α)的几何意义如下：表示大于等于α\alphaα的概率

四.窄带随机过程

1.定义和表达式
窄带随机过程是指其频带宽度Δf\Delta fΔf远远小于中心频率fcf_cfc的过程。用示波器观察它的波形，是一个频率近似fcf_cfc，包络aξ(t)a_{\xi}(t)aξ(t)和相位ϕc(t)\phi_c(t)ϕc(t) 随机缓变的正弦波。
窄带随机过程的一般表示式：
ξ(t)=aξ(t)cos[wct+ϕξ(t)]\xi(t)=a_\xi (t)cos[w_ct+\phi_\xi(t)]ξ(t)=aξ(t)cos[wct+ϕξ(t)]
等价式
ξ(t)=ξc(t)coswct−ξs(t)sinwct\xi(t)=\xi_c (t)cosw_ct-\xi_s(t)sinw_ctξ(t)=ξc(t)coswct−ξs(t)sinwct
式中ξc(t)\xi_c (t)ξc(t)和ξs(t)\xi_s (t)ξs(t)意思如下：
同相分量ξc(t)=aξ(t)cosϕξ(t)\xi_c (t)=a_\xi (t)cos\phi_\xi(t)ξc(t)=aξ(t)cosϕξ(t)
正交分量
ξs(t)=aξ(t)sinϕξ(t)\xi_s (t)=a_\xi (t)sin\phi_\xi(t)ξs(t)=aξ(t)sinϕξ(t)

2.统计特性
窄带随机过程ξ(t)\xi(t)ξ(t)的统计特性可有aξ(t)a_\xi (t)aξ(t),ϕξ(t)\phi_\xi (t)ϕξ(t)来决定，或者由ξc(t)\xi_c (t)ξc(t)和ξs(t)\xi_s (t)ξs(t)的统计特性决定。反过来，可以由ξ(t)\xi(t)ξ(t)的统计特性可确定aξ(t)a_\xi (t)aξ(t),ϕξ(t)\phi_\xi (t)ϕξ(t)的统计特性，或者ξc(t)\xi_c (t)ξc(t)和ξs(t)\xi_s (t)ξs(t)的统计特性。

下面给出两个重要的结论

一个均值为0，方差为σϵ2\sigma_\epsilon^2σϵ2的窄带平稳高斯过程ξ(t)\xi(t)ξ(t),它的同相分量ξc(t)\xi_c (t)ξc(t)，正交分量ξs(t)\xi_s (t)ξs(t)同样是平稳随机过程，且均值都为零，方差也相同。另外，在同一时刻得到的同相分量ξc(t)\xi_c (t)ξc(t)和正交分量ξs(t)\xi_s (t)ξs(t)是统计独立的。
数学公式为
一个均值为0，方差为σϵ2\sigma_\epsilon^2σϵ2的窄带平稳高斯过程ξ(t)\xi(t)ξ(t),其包络aξ(t)a_\xi (t)aξ(t)的一维分布是瑞利分布，相位ϕξ(t)\phi_\xi (t)ϕξ(t)的一维分布是均匀分布，且就一维分布而言，aξ(t)a_\xi (t)aξ(t)和ϕξ(t)\phi_\xi (t)ϕξ(t)是相互独立的。
数学表述为

3.白噪声
凡是功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声，称为白噪声。
白噪声的功率谱密度为
Pξ(w)=n02P_\xi(w)=\frac{n_0}{2}Pξ(w)=2n0
由于R(τ)⇔Pξ(w)R(\tau) \Leftrightarrow P_\xi(w)R(τ)⇔Pξ(w),且δ(τ)⇔1\delta(\tau)\Leftrightarrow1δ(τ)⇔1
白噪声的自相关函数为
R(τ)=n02δ(τ)R(\tau)=\frac{n_0}{2}\delta(\tau)R(τ)=2n0δ(τ)

由上面自相关表达式，我们知道，白噪声只有在τ=0\tau=0τ=0的时候才相关，它在任意两个时刻上的随机变量都是不相关的。

这里补充一点，以后讨论的热噪声和散弹噪声都视为白噪声。

4.带限白噪声
白噪声被限制在(−f0,f0)(-f_0,f_0)(−f0,f0)内，则这样的白噪声被称为带限白噪声。
功率谱密度

自相关函数

五.正弦波加窄带高斯过程

通信系统中经常会遇到正弦波加窄带高斯噪声的情况。
考虑窄带高斯噪声的一般表达式
ξ(t)=ξc(t)coswct−ξs(t)sinwct\xi(t)=\xi_c (t)cosw_ct-\xi_s(t)sinw_ctξ(t)=ξc(t)coswct−ξs(t)sinwct

得到正弦波+窄带高斯噪声的时域表达式

其中，s(t)表示正弦波，n(t)表示窄带高斯噪声

六.平稳随机过程通过线性系统

设线性系统的冲激响应是h(t)h(t)h(t)，输入为ξi(t)\xi_i(t)ξi(t)，则输出为
ξo(t)=ξi(t)∗h(t)=∫−∞∞h(τ)ξi(t−τ)dτ=∫−∞∞ξi(τ)h(t−τ)dτ\xi_o(t)=\xi_i(t)* h(t)=\int_{-\infin}^{\infin}h(\tau)\xi_i(t-\tau)d\tau=\int_{-\infin}^{\infin}\xi_i(\tau)h(t-\tau)d\tauξo(t)=ξi(t)∗h(t)=∫−∞∞h(τ)ξi(t−τ)dτ=∫−∞∞ξi(τ)h(t−τ)dτ

因为系统是物理可实现的，有
这是要保证系统冲激响应h(t)为正值。

输出信号的均值

输出信号的功率谱密度

参考资料：樊昌信《通信原理》考点精讲