上台阶问题——利用高中排列组合知识

问题描述

一共有num节台阶，一次可以上一节或者上两节，问一共有多少种走法
例如：num = 4，则有一下几种情况：

走四步：一次一节上

走三步：一次两节+两次一节

走两步：两次两节

故上四节楼梯一共有五种走法

思路

若问上五十节台阶有多少种走法

不采用 “一次上两步” 的走法

一共要走50步，每步都上一个台阶，所得结果为：
采用一次 “一次上两步” 的走法
一共要走49步，48步上一个台阶，1步上两个台阶，所得结果为：
采用两次 “一次上两步” 的走法
一共要走48步，46步上一个台阶，2步上两个台阶，所得结果为：

… … … … … …

… … … … … …

… … … … … …
最多采用50 / 2 = 25次 “一次上两步” 的走法
一共要走25步，每步都上两个台阶，所得结果为：

综上，把所有情况的累加就是最终答案

规律总结

通过以上分析可得出，如果总台阶数为num，则走法的数量为：

代码实现

创建一个名为Steps的类

num ：总台阶数
ok ：初始值为0，判断能否约分
getOptions() ：获得所有走法的总数量
getUp() ：获得分母
getD() ：获得分子

关键：
因数据过大，主要要解决数据溢出问题，故想办法将数据变小，有两个方面可以减小数据

约分，在计算分母的getU()方法中，设定当n达到一定大小时（38行，这里定为
10），每多乘以一个数，就判断当前值能否整除7的阶层，若可以整除（38行），
则将ok的值设为1，并将结果除以7的阶层以达到减小数值防止溢出的作用，然后，
用ok的值为1作为判条件在getD()方法计算分子时，可直接从8开始算起（54行），
同时，为防止在getU()方法中的值在后来的计算中又出现可以整除7的阶层的数，
故用ok的值作为判断条件，如果ok等于0，则进入，并将OK的值改为1，反过来
制约下一次碰到整除7的阶层的数导致多除(记得每循环一次后讲ok置零，第14
行和21行)
利用排列组合的对称性可得到该公式

当不等式2b ＞ a-b，即b＞( a / 3 )成立时(第9行)，可利用该公式，减小运算结果，防止数据溢出

Steps类代码

public class Steps {int ok = 0, num;public long getOptions(int num) { // num为总台阶数long sum = 0, a, b;long c;this.num = num;for (int n = 0; n <= (num / 2); n++) { // n为一次走两步的次数，取值范围从0到 num / 2if (n > (num / 3)) {a = getU(num - n, num - 2 * n);b = getD(num - 2 * n);c = a / b;sum += c;ok = 0;continue;}a = getU(num - n, n);b = getD(n);c = a / b;sum += c;ok = 0;}return sum;}private long getU(int a, int n) {long f = 1;int start = a - n + 1;if (n == 0 || n == a) {return f = 1;} else if (n == 1) {return f = a;}for (int i = a; i >= start; i--) {f = f * i;if (n > 10 && f % 5040 == 0 && ok == 0) {ok = 1;f = f / 5040;continue;}}return f;}private long getD(int n) {long f = 1;if (n == 0)return f = 1;else if (n == 1) {return f = 1;} else if (ok == 1 && n >= 10) {for (int i = 8; i <= n; i++) {f = f * i;}return f;} else {for (int i = 2; i <= n; i++) {f = f * i;}return f;}}
}

测试类代码

class Text {public static void main(String[] args) {Steps a = new Steps();System.out.println("一共有 " + a.getOptions(50) + " 种走法");}
}

运行结果

当台阶数为4时

当台阶数为30时

当台阶数为50时

总结

以上就是我对上台阶问题的想法，可能比递归复杂很多，但是是我自己的想法。
ps：发这篇文章主要是记录记录自己的想法，如果说的有什么不对的地方欢迎大家指正。
初次入坑，请各位大佬多多指教

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