ACM算法笔记（八）背包问题

问题描述：

现在给你一个容量为V的背包，有N个物品，其中第i件物品的重量为wi，价值为vi，第i件物品一共有si件，问在有限的容量内，最多可以拿到多少价值的物品。

题目分析：

仔细一看，多重背包问题和完全背包问题的差距就在物品的个数上，完全背包问题是同一类物品有无数件，但多重背包不让着你，多重背包给你规定了最多件数。仔细看看还挺有意思，01背包是要么0件要么1件，多重背包是要么可以选0~si件，而完全背包则是可以选0~∞件。

那我们拓展一下思维，这是规定了同类物品最多能拿的个数，要是规定了第i类物品最少要拿多少件呢？很容易想到，只需要初始化的时候提前拿一些，就转换成了01背包问题咯（题外话题外话）

回归正题，多重背包问题就是在完全背包问题加了一个限制条件，“最多能拿si件”。那我们只需要改一改完全背包问题的代码，不就迎刃而解了吗？

假设取前i件物品装入容量为V的背包，第i件物品拿k件所得到的最大值为dp[i][j]

那么dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i])这里的k的范围是：0≤k≤s[i]

于是代码如下...

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int MAXN=1e3+7;
int w[MAXN],N,V,v[MAXN],dp[MAXN][MAXN],s[MAXN];
int main()
{memset(dp,0,sizeof(dp));cin>>V>>N;for(int i=1;i<=N;i++){cin>>w[i]>>v[i]>>s[i];}for(int i=1;i<=N;i++){for(int j=0;j<=V;j++){for(int k=0;k<=s[i]&&k*w[i]<=j;k++){dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i]);}}}cout<<dp[N][V]<<endl;return 0;
}//二维

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int MAXN=1e3+7;
int w[MAXN],N,V,v[MAXN],dp[MAXN],s[MAXN];
int main()
{memset(dp,0,sizeof(dp));cin>>V>>N;for(int i=1;i<=N;i++){cin>>w[i]>>v[i]>>s[i];}for(int i=1;i<=N;i++){for(int j=V;j>=0;j--){for(int k=0;k<=s[i]&&k*w[i]<=j;k++){dp[j]=max(dp[j],dp[j-k*w[i]]+k*v[i]);}}}cout<<dp[V]<<endl;return 0;
}//一维

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