@Author：Runsen

曾几何时，才记得自己还是大一军训的菜鸟，带着迷茫和憧憬踏入大学，踏入化工学院，却踏入这个行业，殊不知岁月是最高明的小偷，偷走时间，带走青春，一点线索也不留。大学的玩命学习，一转眼，就大四了，一不小心就成了学校最老的学长！

前面已经介绍完了01背包和完全背包，今天介绍最后一种背包问题——多重背包。

题目是这样的：来源：https://www.acwing.com/problem/content/4/

有 NNN 种物品和一个容量是VVV 的背包。

第 iii 种物品最多有 sisisi件，每件体积是ViViVi，价值是 wiwiwi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，NNN，VVV，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 NNN 行，每行三个整数 ViViVi,wiwiwi,sisisi，用空格隔开，分别表示第 iii 种物品的体积、价值和数量。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

输入样例
4 5
1 2 3 # 体积、价值和数量
2 4 1
3 4 3
4 5 2
输出样例：
10

状态表示：dp[j]

集合：当前价值j的最大值
属性：最大值

多重背包问题的思路跟完全背包的思路非常类似，只是取值是有限制的，因为每件物品的数量是有限制的，状态转移方程为：dp [j] = max(dp [j], dp [j - k*b] + k*w) 这里的b和w指的是当前遍历的体积和价值。

这里一维动态规划和01背包基一样，就是多了一个k的循环，具体的查看下面代码。

n, v = map(int, input().split())dp = [0 for _ in range(v+1)]for i in range(n):b, w, s = map(int, input().split())for j in range(v, -1, -1):k = 1while k <= s and j >= k * b:dp [j] = max(dp [j], dp [j - k*b] + k*w)k += 1
print(dp[v])

除了上面的方法，还有用最原始的方法，将多个同一物品转化成不同物品，再用01背包求解

n,v = map(int, input().split())
goods = []
for i in range(n):goods.append([int(i) for i in input().split()])new_goods = []for i in range(n):for j in range(goods[i][2]):new_goods.append(goods[i][0:2])goods = new_goods
n = len(goods)dp = [0 for i in range(v+1)]for i in range(n):# 01背包倒序for j in range(v,-1,-1):if j>= goods[i][0]:dp[j] = max(dp[j], dp[j - goods[i][0]] + goods[i][1])
print(dp[-1])

关于多重背包问题中的二进制解法，Runsen下一篇再写。如今就是体现自己的实力的时候了。Leetcode刷起来。

Leetcode 面试题 17.16. 按摩师

`一个有名的按摩师会收到源源不断的预约请求，每个预约都可以选择接或不接。在每次预约服务之间要有休息时间，因此她不能接受相邻的预约。给定一个预约请求序列，替按摩师找到最优的预约集合（总预约时间最长），返回总的分钟数。

注意：本题相对原题稍作改动

示例 1：

输入： [1,2,3,1]
输出： 4
解释：选择 1 号预约和 3 号预约，总时长 = 1 + 3 = 4。
示例 2：

输入： [2,7,9,3,1]
输出： 12
解释：选择 1 号预约、 3 号预约和 5 号预约，总时长 = 2 + 9 + 1 = 12。

题目，其实就是不连续最大子序列。

每个预约都可以选择接或不接来做出思考，每次都有两种选择，那么就是状态转移方程：
dp[k]=max(dp[k−1],nums[k]+dp[k−2])dp[k] = max(dp[k - 1], nums[k ] + dp[k - 2])dp[k]=max(dp[k−1],nums[k]+dp[k−2])

class Solution:def massage(self, nums: List[int]) -> int:if len(nums) == 0:return 0# 求最值用0 dp = [0] * (len(nums))dp[0] = nums[0]for k in range(1,len(nums)):dp[k] = max(dp[k - 1], nums[k] + dp[k - 2])return dp[-1]

Leetcode 面试题 08.11. 硬币

硬币。给定数量不限的硬币，币值为25分、10分、5分和1分，编写代码计算n分有几种表示法。(结果可能会很大，你需要将结果模上1000000007)

示例1:

输入: n = 5
输出：2
解释: 有两种方式可以凑成总金额:
5=5
5=1+1+1+1+1
示例2:

输入: n = 10
输出：4
解释: 有四种方式可以凑成总金额:
10=10
10=5+5
10=5+1+1+1+1+1
10=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

class Solution:def waysToChange(self, n: int) -> int:# 不就是一个零钱对换问题 的完全背包问题? 这里需要将结果模上 10**9 + 7# 求最大值dp = [0] * (n+1)# f(11) = min(f(10),f(9),f(6)) + 1dp[0] = 1for i in [1,5,25,10]:for j in range(i, n + 1):dp[j] += dp[j - i]return dp[-1] % 1000000007

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