背包问题（多重背包+0-1背包）

一：0-1背包问题

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
const int maxn=100;
using namespace std;
int w[maxn];
int p[maxn];
int x[maxn];
int c[maxn][maxn];
int kanpsack_1(int n,int m){for(int i=0;i<=m;i++){c[0][i]=0;}for(int j=0;j<=n;j++){c[j][0]=0;}for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){if(j<w[i]){c[i][j]=c[i-1][j];}else{c[i][j]=max(c[i-1][j-w[i]]+p[i],c[i-1][j]);}}}int j=m;for(int i=n;i>0;i--){if(c[i][j]>c[i-1][j]){x[i]=1;j-=w[i];}else{x[i]=0;}}return c[n][m];
}
int main(){int n,W;int we;//总重量 cin>>n;cin>>we;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>w[i];} for(int i=1;i<=n;i++){cin>>p[i];}int WE=kanpsack_1(n,we);for(int i=1;i<=n;i++){cout<<x[i]<<" ";}   cout<<endl;cout<<WE<<endl;return 0;
}
/*
5
10
2 2 6 5 4
6 3 5 4 6
*/

深搜0-1背包：记忆化搜索
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
int value[1005];
int valume[1005];
int dp[1005][1005];
int n,v;
int dfs(int index,int c){int res=0;if(dp[index][c]>=0)return dp[index][c];if(index>n)return dp[index][c]=0;if(c<valume[index]){res=dfs(index+1,c);}else{res=max(dfs(index+1,c),dfs(index+1,c-valume[index])+value[index]);}dp[index][c]=res;return res;
}
int main(){int t;cin>>t;while(t--){cin>>n>>v;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>value[i]; }for(int i=1;i<=n;i++){cin>>valume[i];}int sum=dfs(1,v);cout<<sum<<endl;}return 0;
}

非记忆化深搜
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
int value[1005];
int valume[1005];
int n,v;
int dfs(int index,int c){int res=0;if(index>n)return 0;if(c<valume[index]){res=dfs(index+1,c);}else{res=max(dfs(index+1,c),dfs(index+1,c-valume[index])+value[index]);}return res;
}
int main(){int t;cin>>t;while(t--){cin>>n>>v;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>value[i]; }for(int i=1;i<=n;i++){cin>>valume[i];}int sum=dfs(1,v);cout<<sum<<endl;}return 0;
}

二：多重背包：
思路：将多重背包转换为0-1背包。
状态转移方程为 dp[i+1][j]=max(dp[i][j-w[i]*k])+v[k] k=(0…g[i]);g[i]表示物品i共有几个。

方法一：
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int W,n;
int w[105],v[105],g[105];
int dp[205][20005];
int main(){int T;scanf("%d",&T);while(T--){memset(dp,0,sizeof(dp));scanf("%d%d",&W,&n);for(int i=0;i<n;i++){scanf("%d%d%d",&w[i],&v[i],&g[i]);//分别表示物品的重量，价值，这种物品的数量}for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<=W;j++){dp[i+1][j]=dp[i][j];for(int k=1;k<=g[i];k++)if(j>=k*w[i])    dp[i+1][j]=max(dp[i+1][j],dp[i][j-w[i]*k]+v[i]*k);}printf("%d\n",dp[n][W]);}return 0;
}


方法二：转化为01背包
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
struct node{int cost;int weight;int nums;
}num[1000005];
int sum_cost,kind;
int dp[1005];
int main(){int t;cin>>t;while(t--){int cnt=0;cin>>sum_cost>>kind;for(int i=1;i<=kind;i++){int x,y,z;//分别表示物品的重量，价值，这种物品的数量cin>>x>>y>>z;for(int j=1;j<=z;j++){num[cnt].cost=x;num[cnt++].weight=y;}}for(int i=0;i<cnt;i++){for(int j=sum_cost;j>=num[i].cost;j--){dp[j]=max(dp[j],dp[j-num[i].cost]+num[i].weight);}}cout<<dp[sum_cost]<<endl;}return 0;
}

方法三：记忆化搜索
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
struct node{int cost;int weight;int nums;
}num[105];
int sum_cost,kind;
int dp[105][10005];
int solve(int index,int sumcost){int temp;if(dp[index][sumcost]>0)return dp[index][sumcost];if(index>=kind||sumcost==0)return dp[index][sumcost]=0;else if(num[index].cost>sumcost){temp=solve(index+1,sumcost);}else{for(int k=0;k<=num[index].nums&&k*num[index].cost<=sumcost;k++){temp=max(solve(index+1,sumcost),solve(index+1,sumcost-num[index].cost*k)+num[index].weight*k);}}dp[index][sumcost]=temp;return temp;
}
int main(){int t;cin>>t;while(t--){cin>>sum_cost>>kind;for(int i=1;i<=kind;i++){cin>>num[i].cost>>num[i].weight>>num[i].nums;}int sum=solve(1,sum_cost);cout<<sum<<endl;}return 0;
}

方法四：转换为二进制方法
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int W,n;
int w[2005],v[2005];
int dp[20005];
int main()
{int T;scanf("%d",&T);while(T--){memset(dp,0,sizeof(dp));scanf("%d%d",&W,&n);int cnt=0;int a,b,c;for(int i=0;i<n;i++){scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);//分别表示物品的重量，价值，这种物品的数量int e=1;while(e<c){w[cnt]=a*e;v[cnt]=b*e;cnt++;c-=e;e*=2;}w[cnt]=a*c;v[cnt]=b*c;cnt++;}for(int i=0;i<cnt;i++)for(int j=W;j>=w[i];j--)dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);printf("%d\n",dp[W]);}return 0;
}

三：回溯法求解0-1背包

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxx=105;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int w[maxx];//物品的重量
int v[maxx];//物品的价值
int cp;//当前的价值
int cw;//当前的重量
int c;//重量的上限
int bestp;//最后的最大价值
int bestx[maxx];//记录被装入背包的物品
int x[maxx];//记录当前装入背包的物品
int n,m;
void init(){cw=0;cp=0;;memset(w,0,sizeof(w));memset(v,0,sizeof(v));memset(bestx,0,sizeof(bestx));
}
int Bound(int i){//计算上界 ，存在比当前可能的更优解 int cleft=c-cw;int b=cp;while(i<=n&&w[i]<=cleft){cleft-=w[i];b+=v[i];i++;}if(i<=n){b+=v[i]/w[i]*cleft;}return b;
}
void BackTrack(int t){if(t>n){for(int j=1;j<=n;j++){bestx[j]=x[j];}bestp=cp;return ;}if(cw+w[t]<=c){x[t]=1;cw+=w[t];cp+=v[t];BackTrack(t+1);//进入左子树 cw-=w[t];cp-=v[t];}if(Bound(t+1)>bestp){//进入右子树 x[t]=0;BackTrack(t+1);}
}
int main(){while(scanf("%d %d",&n,&c)!=EOF){for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&w[i]);}for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&v[i]);}BackTrack(1);cout<<"最大价值: "<<bestp<<endl; cout<<"可以被装入的物品: "; for(int i=1;i<=n;i++){if(bestx[i]==1){cout<<i<<" ";} }cout<<endl; }return 0;
}

这是我自己在做题中总结出来的，如果存在什么问题或者错误，请指出！谢谢！

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