【做题笔记】P2327 [SCOI2005]扫雷

https://www.luogu.com.cn/problem/P2327

看到题解区一位 dalao 思路甚妙，很受启发，故整理了一下思路。

本人表述能力不强，如讲解不清还请见谅。

思路：

四维 DP，定义四维 fff 数组，第一维存储第二列数的位置 iii，第二、三、四维分别表示第一列 i−1i-1i−1 , iii , i+1i+1i+1 的位置有没有雷（定义 1 为有雷，0 为无雷）。

所以初始化为 f(0,0,0,0)=f(0,0,0,1)=1f(0,0,0,0)=f(0,0,0,1)=1f(0,0,0,0)=f(0,0,0,1)=1.

我们还能知道，aia_iai 影响的摆放雷的方案的位置 i+1i+1i+1 , iii 由 ai−1a_{i-1}ai−1 影响的摆放雷的方案的位置 iii , i+1i+1i+1 推来，那么转移思路就很好想了。

做法：

枚举第二列每一个数，因为棋盘是 n×2n\times2n×2 的大小，所以 aia_iai 不能大于 4，所以分以下四种情况讨论：

1.当 ai=0a_i=0ai=0 时，此时状态为 f(i,0,0,0)f(i,0,0,0)f(i,0,0,0).

由 ai−1a_{i-1}ai−1 转移时，只有 f(i−1,1,0,0)f(i-1,1,0,0)f(i−1,1,0,0) 和 f(i−1,0,0,0)f(i-1,0,0,0)f(i−1,0,0,0) 两种情况.

所以 f(i,0,0,0)=f(i−1,1,0,0)+f(i−1,0,0,0)f(i,0,0,0)=f(i-1,1,0,0)+f(i-1,0,0,0)f(i,0,0,0)=f(i−1,1,0,0)+f(i−1,0,0,0).

2.当 ai=1a_i=1ai=1 时，此时有三种状态，分别为 f(i,1,0,0)f(i,1,0,0)f(i,1,0,0)，f(i,0,1,0)f(i,0,1,0)f(i,0,1,0)，f(i,0,0,1)f(i,0,0,1)f(i,0,0,1).

易得 f(i,1,0,0)=f(i−1,0,1,0)+f(i−1,1,1,0)f(i,1,0,0)=f(i-1,0,1,0)+f(i-1,1,1,0)f(i,1,0,0)=f(i−1,0,1,0)+f(i−1,1,1,0)

f(i,0,1,0)=f(i−1,0,0,1)+f(i−1,1,0,1)f(i,0,1,0)=f(i-1,0,0,1)+f(i-1,1,0,1)f(i,0,1,0)=f(i−1,0,0,1)+f(i−1,1,0,1)

f(i,0,0,1)=f(i−1,0,0,0)+f(i−1,1,0,0)f(i,0,0,1)=f(i-1,0,0,0)+f(i-1,1,0,0)f(i,0,0,1)=f(i−1,0,0,0)+f(i−1,1,0,0)

3.当 ai=2a_i=2ai=2 时，此时有三种状态，分别为 f(i,1,1,0)f(i,1,1,0)f(i,1,1,0)，f(i,0,1,1)f(i,0,1,1)f(i,0,1,1)，f(i,1,0,1)f(i,1,0,1)f(i,1,0,1).

易得 f(i,1,1,0)=f(i−1,1,1,1)+f(i−1,0,1,1)f(i,1,1,0)=f(i-1,1,1,1)+f(i-1,0,1,1)f(i,1,1,0)=f(i−1,1,1,1)+f(i−1,0,1,1)

f(i,0,1,1)=f(i−1,1,0,1)+f(i−1,0,0,1)f(i,0,1,1)=f(i-1,1,0,1)+f(i-1,0,0,1)f(i,0,1,1)=f(i−1,1,0,1)+f(i−1,0,0,1)

f(i,1,0,1)=f(i−1,0,1,0)+f(i−1,1,1,0)f(i,1,0,1)=f(i-1,0,1,0)+f(i-1,1,1,0)f(i,1,0,1)=f(i−1,0,1,0)+f(i−1,1,1,0)

4.当 ai=3a_i=3ai=3 时，此时状态只能为 f(i,1,1,1)f(i,1,1,1)f(i,1,1,1).

易得 f(i,1,1,1)=f(i−1,1,1,1)+f(i−1,0,1,1)f(i,1,1,1)=f(i-1,1,1,1)+f(i-1,0,1,1)f(i,1,1,1)=f(i−1,1,1,1)+f(i−1,0,1,1)

转移过程推完了，输出结果需要根据 ana_nan 判断。

因为 ana_nan 不能等于 3（在最后一格，只能在其左侧和左上放雷），所以分 0,1,2 三种情况讨论即可：

1.当 an=0a_n=0an=0 时，摆放方式只有一种，所以直接输出 f(n,0,0,0)f(n,0,0,0)f(n,0,0,0).

2.当 an=1a_n=1an=1 时，此时有两种摆法，分别为 f(i,1,0,0)f(i,1,0,0)f(i,1,0,0)，f(i,0,1,0)f(i,0,1,0)f(i,0,1,0).所以输出它们的和，即 f(i,1,0,0)+f(i,0,1,0)f(i,1,0,0)+f(i,0,1,0)f(i,1,0,0)+f(i,0,1,0).

3.当 ai=2a_i=2ai=2 时，此时摆法只能为 f(n,1,1,0)f(n,1,1,0)f(n,1,1,0)，所以直接输出 f(n,1,1,0)f(n,1,1,0)f(n,1,1,0).

简单易懂的代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
using namespace std;
const int MAXN=1e4+10;
int arr[MAXN],f[MAXN][2][2][2],ans;
int main(){int n;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&arr[i]);f[0][0][0][0]=f[0][0][0][1]=1;for(int i=1;i<=n;i++){if(!arr[i])f[i][0][0][0]=f[i-1][1][0][0]+f[i-1][0][0][0];if(arr[i]==1){f[i][1][0][0]=f[i-1][0][1][0]+f[i-1][1][1][0];f[i][0][1][0]=f[i-1][0][0][1]+f[i-1][1][0][1];f[i][0][0][1]=f[i-1][0][0][0]+f[i-1][1][0][0];}if(arr[i]==2){f[i][1][1][0]=f[i-1][0][1][1]+f[i-1][1][1][1];f[i][1][0][1]=f[i-1][0][1][0]+f[i-1][1][1][0];f[i][0][1][1]=f[i-1][0][0][1]+f[i-1][1][0][1];}if(arr[i]==3)f[i][1][1][1]=f[i-1][0][1][1]+f[i-1][1][1][1];}if(!arr[n]) cout<<f[n][0][0][0];else if(arr[n]==1) cout<<f[n][1][0][0]+f[n][0][1][0];else if(arr[n]==2) cout<<f[n][1][1][0];return 0;
}

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