复合函数求导定义证明_复合函数求导公式如何证明？
【长篇符咒预警～慎点！回答本题，纯粹是因为这题勾起了我由来已久欲一吐为快之槽……请原谅我的无聊。。。】
陶哲轩的《分析》一书中，居然把这个证明留成了一道课后习题……还要求用他书中的体系(最“老土”的牛顿逼近法)去证……真是要多特么蛋疼有多特么蛋疼。。。简直丧病啊！
定理10.1.15(复合函数的求导——链式法则)：设
,
是
的极限点，并设
是
的极限点。设
是在
处可微的函数且
，
是在
处可微的函数；则两者的复合
在
处可微，且
。
证明(所需命题序号引自陶哲轩书，可直接查看，故不一一赘述)：依命题10.1.7(牛顿逼近)以及命题10.1.10(可微性蕴含连续性)，可立即得出以下三个条件(1、3用10.1.7；2用10.1.10)： ；
2.
；而由此可推出——
3.
。
先对1式后半部用三角不等式的变形：
，代入
，即有
(此处还用到
)。
再对1式后半部使用
(令
)，得到
。将同样方法应用至3式后半部，得——
稍作整理，得：
—— ①
—— ②
—— ③
。
现取
，则当
时，①、②、③式同时成立。将①式右边取代③中的
，得 ——
——④
。
以下分两种情况进行讨论——
一、
：此时用
乘②，序关系不变(仅当
时需将
换为
以保持严谨)，有：
——⑤
。以⑤的左端取代④式左端
一项，以⑤的右端取代④式右端
一项，这样并不改变④之原有的序关系，得到——
。
整理(重新合并同类项，并使用
)，得
——(A)。
二、
：此时用
乘②，序关系反号(向)，有：
——⑥
。以⑥的左端取代④式左端
一项，以⑥的右端取代④式右端
一项，这样并不改变④之原有的序关系，得到——
。
整理(重新合并同类项，并使用
，考虑到
，则
，下式不等号右端有意义)，得
——(B)。
考虑到
，可以将(A)、(B)两式合二为一：
——(※)。
现给定
，令
，
。这样一来，一方面当
时，
，而
且
使得
；另一方面，当
时，
，而
且
使得
。因此，
，
且
且
。根据1、3两式，存在着
使之针对此处给定的
依以上估计所构造出的
成立；而对于
，依2式知必然存在
使之成立。那么，令
，依(※)则有——
，
依命题10.1.7，定理得证。
□
这证明从最基本的导数、微分的极限定义出发，用各种繁琐庞杂的不等式估计式直接正面硬刚，绝对能特么体现出特仑苏在这本书前言中所强调的“冗繁然而构造性”、“‘严格地’、‘手工地’做分析”的精神实质——“暴力”的硬分析(俗称“干脏活儿”、“硬㨃/怼”)。。。
然而公式敲完之后，只觉天旋地转，喉头发痒咸腥，一口老血喷在屏幕上～
顺便说一句，以下“证明”——
是众所周知的伪证，因为分母
在
时仍然可以为零。然而，很多人误认为
的连续性可以保证
使得
，但——
这是错误的！
然后很多人又会误以为只有常数函数
才会导致这样的bug出现，然而——
这也是妄念！
考虑以下函数，这是关于可微性的经典反例——
，立即打脸。
所以说，纵使这个伪证中存在的bug本质上是个“佯谬”，但也得认真对待——弄得不好，纸老虎也是会咬人的。
复合函数求导定义证明_复合函数求导公式如何证明？相关推荐
- 复合函数求导定义证明_复合函数求导法则证明方法的探讨
第 期 总第 期年 月 黎明职业大学学报名 哪 哪工犯 性洲关] 复合函数求导法则证明方法的探讨黄 永 正 摘要法则 .关键词 本文论述复合函数求导法则证明的 另 一种方法 , 并用 此 方 法论证参 ...
- matlab求两向量夹角_【求精干货】高中数学知识点总结归纳高一学生必须掌握
高中数学高考知识点总结高一必高中数学高一的学生离高考还有两年的时间,别看这两年感觉很长,其实时间一晃就过了,高中数学学习成绩不太好的同学该加油好好学习了.别等到最后一年累死累活的搞,还不一定有效果,今 ...
- 复合函数求导定义证明_复合函数的求导法则怎么证明？
展开全部 复合函数的求导法则证明: 例如:要求f(g(x))对x的导数,且f(g(x))和g(x)均可导. 首先,根62616964757a686964616fe58685e5aeb931333365 ...
- 复合函数求导经典例题_复合函数求导练习试题.doc
WORD格式可编辑 专业技术资料整理分享 复合函数求导练习题 一．选择题(共26小题) 1．设,则f′(2)=( ) A．B．C．D． 2．设函数f(x)=g(x)+x+lnx,曲线y=g(x)在点( ...
- python海伦公式求三角形面积程序流程图_《求三角形面积程序代码实现》教学设计...
一．教学目标: 1 .能说出能否构成三角形的条件,并了解其 VB 表达式:能读懂求解三角形面积的程序流程图: 2 .了解编写程序代码的一般步骤,了解变量定义, IF 语句的基本语法格式: 3 .掌握 ...
- python求三角形面积步骤_通过求三角形面积步入python程序世界.pdf
通过求三角形面积步入python程序世界 第一章 通过求三角形面积步入 Python 程序世界 本章通过一个求三角形面积的案例带领读者快速进入 Python 世界,案例涉及一些编程必 须知道的内容,包 ...
- 不动点求数列通项原理_不动点法求数列的通项.pdf
维普资讯 厂-m.一簸 ||.- l_¨ |≯|蠢嚣.| < 日 § 数 列 的通 项 一 杭州外国语学校 徐国君 文[1]中提出了一种称为 "常数消去法"妙求形如 3 不动 ...
- js求两圆交点_谈谈求线段交点的几种算法(js实现,完整版)
"求线段交点"是一种非常基础的几何计算, 在很多游戏中都会被使用到. 下面我就现学现卖的把最近才学会的一些"求线段交点"的算法总结一下, 希望对大家有所帮助. ...
- python辗转相除法求最大公约数最小公倍数_辗转相除法求最大公约数/最小公倍数...
http://blog.csdn.net/jtujtujtu/article/details/4407171 2009 辗转相除法求最大公约数: 辗转相除法, 又名欧几里德算法(Euclidean a ...
- 不动点求数列通项原理_不动点求数列通项的原理
求用不动点的原理,求数列通项的例子 数列中,A1=1,A2=2,A(n+2)=-A(n+1)+2An (A后的括号代表下标)求An通项 这道体我当时记了个方法:原式变形后 A(n+2)+A(n+1)- ...
最新文章
- Vimium - 让Chrome高效工作的神器
- 从汉诺塔讲递归的思考方式
- 常见Java面试题 – 第三部分：重载（overloading）与重写（overriding）
- rhel7+apache+c cgi+动态域名实现web访问
- 设置成员操作符--inside
- 开学季|计算机专业的你看过来！
- opencv3.4.3的DNN模块调用bvlc_googlenet.caffemodel实现图像分类
- 华为nova 5全新外观曝光：水滴全面屏设计 边框下巴极窄
- dcloud会员激活mui
- sql语法、特殊符号及正则表达式的使用
- 在Windows下编译OpenSSL（VS2005）
- Ubuntu安装谷歌浏览器Chrome
- lpx寒假作业案例9
- python 500行 小项目 --- 简单对象模型
- matlab预测股价,股价模拟、以雅虎新浪网易数据挖掘、股价预测工具箱(fantuanxiaot的Alpha版本)...
- 关于保利威视平台的API调用签名
- 通俗易懂理解几何光学（六）光学系统的像质评价
- Activity基础 - 任务栈
- HTML 锁定表格首行首列、拖拽表格列宽
- Top，vmstat命令排查CPU使用率，负载问题