结论

ac≡acmod  φ(m)+φ(m)(modm)a^c \equiv a^{c\mod \varphi(m)+\varphi(m)}(mod\ m)ac≡acmodφ(m)+φ(m)(mod m)
其中a,c,ma,c,ma,c,m是正整数，且c≥φ(m)c\geq \varphi(m)c≥φ(m)

证明

令c=b+φ(m)(b≥0)c=b+\varphi(m)(b\geq 0)c=b+φ(m)(b≥0),
取aaa的任意质因子ppp
m=s×prm=s\times p^rm=s×pr，其中(s,p)=1(s,p)=1(s,p)=1
那么pφ(s)≡1(mods)p^{\varphi(s)}\equiv 1(mod\ s)pφ(s)≡1(mod s)
因为φ(m)=φ(s)×φ(pr)\varphi(m)=\varphi(s)\times\varphi(p^r)φ(m)=φ(s)×φ(pr)
所以φ(s)∣φ(m)\varphi(s)|\varphi(m)φ(s)∣φ(m)
所以pφ(m)≡1(mods)p^{\varphi(m)}\equiv 1(mod\ s)pφ(m)≡1(mod s)
所以pb≡pbmod  φ(m)(mods)p^b\equiv p^{b\mod \varphi(m)}(mod\ s)pb≡pbmodφ(m)(mod s)
两边同时乘以prp^rpr，根据同余的定义得到pb+r≡pbmod  φ(m)+r(modm)p^{b+r}\equiv p^{b\mod \varphi(m)+r}(mod\ m)pb+r≡pbmodφ(m)+r(mod m)(注意模数变了)
φ(m)=φ(s)(p−1)pr−1≥pr−1≥2r−1≥r\varphi(m)=\varphi(s)(p-1)p^{r-1}\geq p^{r-1}\geq 2^{r-1}\geq rφ(m)=φ(s)(p−1)pr−1≥pr−1≥2r−1≥r
因此φ(m)−r≥0\varphi(m)-r\geq 0φ(m)−r≥0
给上面的同余式两边同时乘以pφ(m)−rp^{\varphi(m)-r}pφ(m)−r
得到pb+φ(m)≡p(b+φ(m))mod  φ(m)+φ(m)p^{b+\varphi(m)}\equiv p^{(b+\varphi(m))\mod \varphi(m)+\varphi(m)}pb+φ(m)≡p(b+φ(m))modφ(m)+φ(m)
即pc≡pcmod  φ(m)+φ(m)(modm)p^c\equiv p^{c\mod \varphi(m)+\varphi(m)}(mod\ m)pc≡pcmodφ(m)+φ(m)(mod m)
对每个质因子ppp，上式都成立，对这些式子左右两边分别做积，就可以得到结论了

题外话

通过上述证明过程，其实发现拓展欧拉定理还可以表述为：
当c>=φ(p)c>=\varphi(p)c>=φ(p)时，有
ac≡acmod  φ(m)+kφ(m)(modm)a^c\equiv a^{c \mod \varphi(m) +k\varphi(m)}(mod\ m)ac≡acmodφ(m)+kφ(m)(mod m)
其中kkk是正整数

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