题解 P3978 【[TJOI2015]概率论】

这道题。。。好像是第一道我自己切出来的黑题。。。

先说一句，牛顿二项式蒟蒻并不会，可以说是直接套结论。

求诸位老爷轻喷。

这道题用卡特兰数搞。

卡特兰数这玩意从普及组初赛一路考到省选，十分有用。

如果不清楚这个概念的话可以看一下这里。

卡特兰数是有两种计算方法：

1）用递推算。

2）用排列组合。

用它解题的流程一般是先说明所求的问题可以归到第一类中，然后再用第二类来计算具体的值。

像这道题就可以用卡特兰数水过。

我们假设$f_i$表示节点数为i的二叉树有多少种。

那么可以发现存在这样的关系：$f_i=\sum_{k=1}^{i-1}f_{k}f_{i-k-1}$。

这个东西满足卡特兰数的第一类表示方法。

所以运用第二类表示方法就可以得到$f_i=\frac{1}{n+1}C^n_{2n}$。

现在我们用$h_i$表示节点数为i的二叉树的叶子节点数量。

那根据$f_i$的值我们就可以得出递推式：$h_i=2\sum_{k=0}^{i-1}h_kf_{i-k-1}$

也就是$h_i=C^{i-1}_{2i-2}$

那么最终的答案就是$\frac{h_i}{f_i}=\frac{C^{i-1}_{2i-2}}{\frac{1}{n+1}C^n_{2n}}=\frac{n(n+1)}{2(2n-1)}$。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define qwq int
#define QAQ double
#define re register
using namespace std;
namespace Solve{inline void read(qwq &x){x=0;qwq f=1;char c=getchar();for(;c<'0'||c>'9';c=getchar())if(c=='-')f=-1;for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())x=x*10+c-'0';x*=f;}qwq n;QAQ ans;inline void solve(){read(n);ans=(QAQ)n*(QAQ)(n+1)/(QAQ)(2*n-1)/2;printf("%.9lf",ans);}
}
using namespace Solve;
qwq main(){solve();
}

转载于:https://www.cnblogs.com/ilverene/p/9850603.html

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