Description

在一只大灰狼偷偷潜入Farmer Don的牛群被群牛发现后，贝西现在不得不履行着她站岗的职责。从她的守卫塔向下瞭望简直就是一件烦透了的事情。她决定做一些开发智力的小练习，防止她睡着了。

想象牧场是一个X，Y平面的网格。她将N只奶牛标记为1…N (1 <= N <= 100,000)，每只奶牛的坐标为X_i,Y_i (-100,000 <= X_i <= 100,000;-100,000 <= Y_i <= 100,000; 1 <= i <=N)。然后她脑海里想象着所有可能由奶牛构成的三角形。如果一个三角形完全包含了原点(0,0)，那么她称这个三角形为“黄金三角形”。原点不会落在任何一对奶牛的连线上。另外，不会有奶牛在原点。

给出奶牛的坐标，计算出有多少个“黄金三角形”。

Input

第一行：一个整数N
第2到第N+1行：每行两个整数X_i，Y_i，表示每只牛的坐标

Output

第一行: 一行包括一个整数，表示“黄金三角形的数量”

Sample Input

5
-5 0
0 2
11 2
-11 -6
11 -5

Sample Output

Hint

考虑五只牛，坐标分别为(-5,0), (0,2), (11,2), (-11,-6), (11,-5)。

下图是由贝西视角所绘出的图示。

      ............|........................*..........*.............|............-------*----+------------............|........................|........................|........................|........................|..........*..*..........|........................|............

Solution

正难则反，总组合数为 C3nC_n^3 ，只要求出不过原点的三角形个数即可。
现将每个点进行极角排序（以原点为顶点、两边分别为 x的正半轴和原点与这个点的连边）
按角从小到大枚举，统计连续的一段，使得组成的三角形不包含原点，则该段可以两两匹配。
判断其是否包含原点，只需要判断两向量的叉积是否大于0即可（大于0则不包含）。
时间复杂度为 O(N log N)O(N\ log\ N) 。

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#include<complex>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef complex<LL> point;
const int N=1e5+2;
point a[N<<1];
inline int read()
{int X=0,w=0; char ch=0;while(!isdigit(ch)) w|=ch=='-',ch=getchar();while(isdigit(ch)) X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar();return w?-X:X;
}
inline bool upper(point x)
{return x.imag()>0 || !x.imag() && x.real()>0;
}
inline LL cross(point x,point y)
{return x.real()*y.imag()-x.imag()*y.real();
}
inline bool cmp(point x,point y)
{bool xx=upper(x),yy=upper(y);if(xx && !yy) return true;if(!xx && yy) return false;return cross(x,y)>0;
}
int main()
{int n=read();for(int i=1;i<=n;i++) a[i].real()=read(),a[i].imag()=read();sort(a+1,a+1+n,cmp);LL ans=n*1LL*(n-1)*(n-2)/6;for(int i=1;i<=n;i++) a[i+n]=a[i];for(int i=1,j=1;i<=n;i++){while(j<i+n-1 && cross(a[i],a[j+1])>0) j++;ans-=(j-i)*1LL*(j-i-1)/2;}printf("%lld",ans);return 0;
}

JZOJ 3129. 【WinterCamp 2013】数三角形相关推荐

一本通1655数三角形
1655:数三角形时间限制: 1000 ms 内存限制: 524288 KB [题目描述] 给定一个 n×m 的网格,请计算三点都在格点上的三角形共有多少个.下图为 4×4 的网格上 ...
组合计数——车的放置(逆元)+数三角形+序列统计(lucas定理)
通用传送门:https://www.acwing.com/activity/content/16/ 思路:设C(a,b)为从a中取出b个的组合数,设A(a,b)从a中选出b个进行排列的排列数. 对于题 ...
组合数学——数三角形
数三角形给定一个 n×m 的网格,请计算三点都在格点上的三角形共有多少个. 下图为 4×4 的网格上的一个三角形. 注意:三角形的三点不能共线. 输入格式输入一行,包含两个空格分隔的正整数 m 和 ...
2023NHOI数三角形题解
第五题数三角形(e.cpp)[题目描述]已知一个包含n个非负整数的数组a,要从中选出三个数作为三角形的三条边的边长,有多少种不同的选法.注意:要组成三角形需要满足的条件是任意两边之和大于第三边.[输入 ...
bzoj3505 / P3166 [CQOI2014]数三角形
P3166 [CQOI2014]数三角形前置知识:某两个点$(x_{1},,y_{1}),(x_{2},y_{2})\quad (x_{1}<x_{2},y_{1}<y_{2})$所连成 ...
P3166 [CQOI2014]数三角形(组合数学)
P3166 [CQOI2014]数三角形(组合数学) 整点三角形个数. 正难则反,求出总方案和共线三角形方案数即可. 总方案:C((n+1)(m+1),3)C((n+1)(m+1),3)C((n+1) ...
计蒜客NOIP模拟赛数三角形
数三角形题目描述刚刚上高中的洁洁在学习组合数学的过程中遇到一道麻烦的题目,她希望你能帮助她解决.给定一张无向完全图 G,其中大部分边被染成蓝色,但也有一些边被染成红色或者绿色.现在,洁洁需要给这张 ...
数三角形 (组合数学+分类讨论)
数三角形 [Link](信息学奥赛一本通(C++版)在线评测系统 (ssoier.cn)) 题意给定一个 n × m n\times m n×m的网格,请计算三点都在格点上的三角形共有多少个. 题解 ...
BZOJ 3505 [Cqoi2014]数三角形（组合数学）
[题目链接] http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3505 [题目大意] 给定一个nxm的网格,请计算三点都在格点上的三角形共有多少个. 注 ...

JZOJ 3129. 【WinterCamp 2013】数三角形