BZOJ4001[TJOI2015]概率论——卡特兰数
题目描述
输入
输入一个正整数N,代表有根树的结点数
输出
输出这棵树期望的叶子节点数。要求误差小于1e-9
样例输入
样例输出
提示
1<=N<=10^9
设$f[n]$表示$n$个节点能形成二叉树的方案数,$g[n]$表示所有方案的叶子数之和
$ans=\frac{g[n]}{f[n]}$,f$[n]$就是卡特兰数(这是卡特兰数的一个应用)
那么$g[n]$怎么求呢?
假设一种$n$节点二叉树有$k$个叶子,那么$g[n]=\sum k$
我们将这$k$个叶子中任意一个点删除都能得到一种形态的$n-1$节点二叉树
那么$g[n]$就是所有$n$节点二叉树删除一个节点能得到的$n-1$节点二叉树的方案数之和
这样还是求不了啊?
我们反过来看,将$g[n]$看成是$n-1$节点二叉树加一个节点能形成$n$节点二叉树的方案数之和
考虑对于一种形态的$n-1$节点二叉树,每个点能向下连出两条边(连向左儿子和右儿子的边),$n-1$个节点就有$2n-2$条边
因为将这$n-1$个点连成一棵树已经占用了$n-2$条边,所以还有$n$条边的下端是空闲的,在这$n$条边下端任意一个位置加一个点都能形成一种形态的$n$节点二叉树
每种形态$n-1$节点二叉树都能形成$n$种$n$节点二叉树,共$f[n-1]$种形态,因此$g[n]=n*f[n-1]$
$f[n]=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}=\frac{(2n)!}{n!(n+1)!}$,$ans=\frac{g[n]}{f[n]}=\frac{n*(n+1)}{2(2n-1)}$
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
int n;
double ans;
int main()
{scanf("%d",&n);ans=1.0*n*(n+1)/2;ans/=(2.0*n-1);printf("%.9lf",ans);
}
转载于:https://www.cnblogs.com/Khada-Jhin/p/9833479.html
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