HDOJ1028-Ignatius and the Princess III（整数划分）

整数划分：

整数N划分问题是一个组合数学的问题，要求将N划分成多个数的和，实际是将N个1切分成几块的问题，也可以说是在N个1的N-1个空档中插入K块挡板分割。
动态规划： dp[i][j]，将i划分为最大数不超过j的所有划分
递归：方便求解划分总数，但是却不能很好的打印划分序列

根据n和m的关系，考虑以下几种情况：
(1)当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1};
(2)当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,…,1};
(3)当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：
(a)划分中包含n的情况，只有一个即{n}；
(b)划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。
因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);
(4)当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于f(n,n);
(5)但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：
(a)划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,…xi}}, 其中{x1,x2,… xi} 的和为n-m，因此这情况下为f(n-m,m)
(b)划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1)，因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);
综上所述：

    f(n, m)=   1;                  (n=1 or m=1)f(n,m)   =    f(n, n);                   (n<m)1+ f(n, m-1);                              (n=m)f(n-m,m)+f(n,m-1);                    (n>m)

题目描述：

“好吧，似乎第一个问题太容易了。我会让你知道你以后有多愚蠢。”feng5166说。
“第二个问题是，给定正整数N，我们定义这样的方程：
N = a [1] + a [2] + a [3] + … + a [m];
a [i]> 0,1 <= m <= N;
我的问题是你能为给定的N找到多少个不同的方程式。
例如，假设N是4，我们可以找到：
4 = 4;
4 = 3 + 1;
4 = 2 + 2;
4 = 2 + 1 + 1;
4 = 1 + 1 + 1 + 1;
因此当N为4时结果为5.注意“4 = 3 + 1”和“4 = 1 + 3”是同样在这个问题上。现在，你做到了！“

input
输入包含几个测试用例。每个测试用例包含一个正整数N（1 <= N <= 120），
如上所述。输入由文件末尾终止。

output
对于每个测试用例，您必须输出一个包含整数P的行，表示您找到的不同方程式。

样本输入
4
10
20

样本输出
5
42
627

一道经典的整数划分问题，但这里用递归会超，所以选择dp中的备忘录法。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[121][121];
//递归
int integer(int n, int m) {if (n == 1 || m == 1) return 1;if (n < m) return integer(n, n);if (n == m) return 1+integer(n, n-1);return integer(n, m-1)+integer(n-m, m);
}
//自顶向下的备忘录法（递归+数组存）
int integer_(int n, int m) {if (f[n][m] > 0) return f[n][m];if (n == 0 || m == 0) return 0;if (n == 1 || m == 1) f[n][m] = 1;else if (n < m) f[n][m] = integer_(n, n);else if (n == m) f[n][m] = integer_(n, n-1) + 1;else f[n][m] = integer_(n-m, m) + integer_(n, m-1);return f[n][m];
}
int main() {int n;while (cin >> n) {cout << integer_(n, n) << endl;}
}

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