第二类换元法倒代换专项训练

前置知识：第二类换元法

题1： 计算∫1x10+xdx\int\dfrac{1}{x^{10}+x}dx∫x10+x1dx

解：
\qquad令x=1tx=\dfrac 1tx=t1，t=1xt=\dfrac 1xt=x1，dx=−1t2dtdx=-\dfrac{1}{t^2}dtdx=−t21dt

\qquad原式=∫11t10+1t⋅(−1t2)dt=−∫t81+t9dt=\int \dfrac{1}{\frac{1}{t^{10}}+\frac 1t}\cdot(-\dfrac{1}{t^2})dt=-\int\dfrac{t^{8}}{1+t^9}dt=∫t101+t11⋅(−t21)dt=−∫1+t9t8dt

=−19ln⁡(1+t9)+C=−19ln⁡(1+1x9)+C\qquad\qquad =-\dfrac 19\ln(1+t^9)+C=-\dfrac 19\ln(1+\dfrac{1}{x^9})+C=−91ln(1+t9)+C=−91ln(1+x91)+C

题2： 计算∫1x(x7+1)dx\int\dfrac{1}{x(x^7+1)}dx∫x(x7+1)1dx

解：
\qquad令x=1tx=\dfrac 1tx=t1，t=1xt=\dfrac 1xt=x1，dx=−1t2dtdx=-\dfrac{1}{t^2}dtdx=−t21dt

\qquad原式=∫11t8+1t⋅(−1t2)dt=−∫t61+t7dt=\int\dfrac{1}{\frac{1}{t^8}+\frac 1t}\cdot(-\dfrac{1}{t^2})dt=-\int\dfrac{t^6}{1+t^7}dt=∫t81+t11⋅(−t21)dt=−∫1+t7t6dt

=−17ln⁡(1+t7)+C=−17ln⁡(1+1x7)+C\qquad\qquad =-\dfrac 17\ln(1+t^7)+C=-\dfrac 17\ln(1+\dfrac{1}{x^7})+C=−71ln(1+t7)+C=−71ln(1+x71)+C

题3： 计算∫1(1+x)1−x−x2dx\int\dfrac{1}{(1+x)\sqrt{1-x-x^2}}dx∫(1+x)1−x−x21dx

解：
\qquad令1+x=1t1+x=\dfrac 1t1+x=t1，t=11+xt=\dfrac{1}{1+x}t=1+x1，dx=−1t2dtdx=-\dfrac{1}{t^2}dtdx=−t21dt

\qquad原式=∫1(1+x)1+(x+1)−(x+1)2dx=∫11t1+1t−1t2⋅(−1t2)dt=\int\dfrac{1}{(1+x)\sqrt{1+(x+1)-(x+1)^2}}dx=\int\dfrac{1}{\frac 1t\sqrt{1+\frac 1t-\frac{1}{t^2}}}\cdot(-\dfrac{1}{t^2})dt=∫(1+x)1+(x+1)−(x+1)21dx=∫t11+t1−t211⋅(−t21)dt

=−∫1t2+t−1dt=−∫1(t+12)2−54dt\qquad\qquad =-\int\dfrac{1}{\sqrt{t^2+t-1}}dt=-\int\dfrac{1}{\sqrt{(t+\frac 12)^2-\frac 54}}dt=−∫t2+t−11dt=−∫(t+21)2−451dt

=−ln⁡∣(t+12)+t2+t−1∣+C\qquad\qquad =-\ln|(t+\dfrac 12)+\sqrt{t^2+t-1}|+C=−ln∣(t+21)+t2+t−1∣+C

=ln⁡∣3+x+21−x−x22(1+x)∣+C\qquad\qquad =\ln|\dfrac{3+x+2\sqrt{1-x-x^2}}{2(1+x)}|+C=ln∣2(1+x)3+x+21−x−x2∣+C

由直接积分法可得∫dxx2−a2=ln⁡∣x+x2−a2∣+C\int\dfrac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C∫x2−a2dx=ln∣x+x2−a2∣+C，同样也可得∫dx(x+k)2−a2=ln⁡∣(x+k)+(x+k)2−a2∣+C\int\dfrac{dx}{\sqrt{(x+k)^2-a^2}}=\ln|(x+k)+\sqrt{(x+k)^2-a^2}|+C∫(x+k)2−a2dx=ln∣(x+k)+(x+k)2−a2∣+C。
所以解题过程中−∫1(t+12)2−54dt=−ln⁡∣(t+12)+t2+t−1∣+C-\int\dfrac{1}{\sqrt{(t+\frac 12)^2-\frac 54}}dt=-\ln|(t+\dfrac 12)+\sqrt{t^2+t-1}|+C−∫(t+21)2−451dt=−ln∣(t+21)+t2+t−1∣+C

总结

观察被积函数，若分母比较复杂，令x=1tx=\dfrac 1tx=t1，有时可以令x+a=1tx+a=\dfrac 1tx+a=t1，然后进行转换，利用被积函数的特性来求解。

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