第二类换元法三角代换的万能代换

前置知识：第二类换元法

介绍

由 sin ⁡ x , cos ⁡ x \sin x,\cos x sinx,cosx与常数经过有限次四则运算所得到的表达式称为三角有理式，记作 R ( sin ⁡ x , cos ⁡ x ) R(\sin x,\cos x) R(sinx,cosx)。对它的不定积分 ∫ R ( sin ⁡ x , cos ⁡ x ) d x \int R(\sin x,\cos x)dx ∫R(sinx,cosx)dx，作半角代换： t = tan ⁡ x 2 t=\tan \dfrac x2 t=tan2x。

由三角函数公式的万能公式可得，有

sin ⁡ α = 2 tan ⁡ α 2 1 + tan ⁡ 2 α 2 \sin \alpha=\dfrac{2\tan \frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}} sinα=1+tan22α2tan2α

cos ⁡ α = 1 − tan ⁡ 2 α 2 1 + tan ⁡ 2 α 2 \cos \alpha=\dfrac{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2 \frac{\alpha}{2}} cosα=1+tan22α1−tan22α

tan ⁡ α = 2 tan ⁡ α 2 1 − tan ⁡ 2 α 2 \tan \alpha=\dfrac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}} tanα=1−tan22α2tan2α

于是

∫ R ( sin ⁡ x , cos ⁡ x ) d x = ∫ R ( 2 t 1 + t 2 , 1 − t 2 1 + t 2 ) ⋅ 2 1 + t 2 d t \int R(\sin x,\cos x)dx=\int R(\dfrac{2t}{1+t^2},\dfrac{1-t^2}{1+t^2})\cdot \dfrac{2}{1+t^2}dt ∫R(sinx,cosx)dx=∫R(1+t22t,1+t21−t2)⋅1+t22dt

因为任何三角有理函数都可以用这个代换方法找到初等的原函数，所以 t = tan ⁡ x 2 t=\tan \dfrac x2 t=tan2x常被称为“万能代换”。

例题

计算 ∫ 1 + sin ⁡ x 1 + cos ⁡ x d x \int \dfrac{1+\sin x}{1+\cos x}dx ∫1+cosx1+sinxdx

解：
\qquad 令 t = tan ⁡ x 2 t=\tan \dfrac x2 t=tan2x，则有

1 + sin ⁡ x = 1 + 2 t 1 + t 2 = ( 1 + t ) 2 1 + t 2 \qquad 1+\sin x=1+\dfrac{2t}{1+t^2}=\dfrac{(1+t)^2}{1+t^2} 1+sinx=1+1+t22t=1+t2(1+t)2

1 + cos ⁡ x = 1 + 1 − t 2 1 + t 2 = 2 1 + t 2 \qquad 1+\cos x=1+\dfrac{1-t^2}{1+t^2}=\dfrac{2}{1+t^2} 1+cosx=1+1+t21−t2=1+t22

\qquad 所以

∫ 1 + sin ⁡ x 1 + cos ⁡ x d x = ∫ ( 1 + t ) 2 1 + t 2 2 1 + t 2 ⋅ 2 1 + t 2 d t = ∫ ( 1 + t ) 2 2 ⋅ 2 1 + t 2 d t \qquad \int \dfrac{1+\sin x}{1+\cos x}dx=\int\dfrac{\quad\frac{(1+t)^2}{1+t^2}\quad}{\frac{2}{1+t^2}}\cdot \dfrac{2}{1+t^2}dt=\int\dfrac{(1+t)^2}{2}\cdot \dfrac{2}{1+t^2}dt ∫1+cosx1+sinxdx=∫1+t221+t2(1+t)2⋅1+t22dt=∫2(1+t)2⋅1+t22dt

= ∫ ( 1 + 2 t 1 + t 2 ) d t = t + ln ⁡ ( 1 + t 2 ) + C \qquad\qquad\qquad\qquad\quad =\int(1+\dfrac{2t}{1+t^2})dt=t+\ln(1+t^2)+C =∫(1+1+t22t)dt=t+ln(1+t2)+C

= tan ⁡ x 2 − ln ⁡ [ 1 cos ⁡ 2 x ( cos ⁡ 2 x + sin ⁡ 2 x ) ] + C = tan ⁡ x 2 − 2 ln ⁡ ∣ cos ⁡ x 2 ∣ + C \qquad\qquad\qquad\qquad\quad =\tan \dfrac x2-\ln[\dfrac{1}{\cos^2 x}(\cos^2 x+\sin^2 x)]+C=\tan\dfrac x2-2\ln|\cos\dfrac x2|+C =tan2x−ln[cos2x1(cos2x+sin2x)]+C=tan2x−2ln∣cos2x∣+C

总结

万能代换的过程很繁琐，但并没有太大的思维难度。如果一道三角有理函数求原函数的题一直想不出来，不妨试试用万能代换。

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