高等数学复习之不定积分的解法(部分分式解法，第二类换元法规律）

对这块的内容挺生！再看看！

原函数概念？

前面是导数形式，后面是微分形式。

什么是原函数存在定理？

简言之，就是连续函数一定是可积的。

由于初等函数在定义域上连续，所以初等函数在其定义域上一定有原函数。

注意：

原函数不唯一，要记住在F(x)+C来表示原函数。

不定积分的概念？

不定积分与导数（微分）的关系???
　　

基本积分公式？

详见，积分与导数公式记忆

不定积分的解法？？

直接积分法：利用不定积分的运算性质（函数和差的不定积分就等于不定积分的和差如下图：）和基本积分公式，直接求出不定积分的方法.

第一类换元法（凑微分法）：

第一换元公式u=φ(x)要看作一个整体，简言之，就是换元(实质就是改变变量形式，思想还是变未知为已知。已知就是基本的初等函数积分公式），然后才可积。

是导数形式就是函数φ(x)的导数，脑补几何意义就是曲线φ(x)上任意一点与切线相交的点。所以d(φ(x))/dx就代表导数。所以进一步化简得到可积的f(u)du的形式。

注：

要理解第一类换元法的实质：复合函数求导的逆过程，令y=f( $\varphi(x)$ ),则 ${y}'$ = $f(\varphi (x)){}'$ ${\dot{\varphi (x)}}'$

关键是就是从前面的被积函数中，找到中间变量 $\varphi(x)$

当被积函数是三角函数相乘时，奇次凑微分,偶次降幂。

csc x = - ln|csc x + cot x| + C

sec x = ln|sec x + tan x| + C,更常用

第二类换元法：改变中间变量的设置方法

就是说将x用g(t)代换，再将dx拆分为g'(t)dt从而使积分可求，也叫变量代换法，同时，x是φ'(t)的反函数（只有单调函数才有反函数）主要有三角代换，根式代换和倒代换，适用于积分式中有根式的。

形式上与凑微分法是一样的，两者区别是什么？

变量代换是直接变量换成φ(t,)，,把dx拆分为φ'(t)dt,从而把简单函数变为一个复合函数，此时是将原来求x换成求t(真的换了变量）,所以最后再换回来，常常用三角函数代换分母中的多项式，再利用三角恒等变换使分母简单化（从而化掉根工）从而得解。

而凑微分是通过配凑导数，将配凑到的导数u'和dx合在一起形成du，构成形如f(u)du的形式求积分（这里只是改变了x的形式，使x更容易代入基本初等函数积分公式，还是求x)，这里的f(u)通常为易求的积分形式

基本的数学思想，都是将不好求的，先转化成容易求的形式，得到一个解后，再通过等式换回来。

第二类换元法的规律？？？？如下：

分部积分法：

推导：

利用乘积的导数公式为：

移项可得：

两边求不定积分：这个就是分部积分公式

适用场景：把一个积分转变成另一个较为容易的积分。最典型的就是幂乘指数的积分，幂是u,指数是v',这样代入公式来分部积分。

扩展：

关于部分分式解法：

解积分时会用到将一个分式化为各个部分相加减的情况，如题：

最简单的解法如下：

1、将分式单独提取出来，写成一个部分分式

2、提取出分子等式 1=A1(x-4)+A2(x-1) 关键。

3、代入式子的根（"零点"）

x=4时，1=A2(4-1),则A2=1/3

x=1时， 1=A1(1-4),则A1=-1/3

4、得到解：

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