加法原理和乘法原理

加法原理是分类，乘法原理是分步。这个不用多解释了。

无重复的排列组合

排列

从nnn个不同元素中取m(m≤n)'>m(m≤n)m(m≤n)m(m\leq n)个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从nnn个不同元素取出的一个排列。
这个排列中没有重复元素，所以叫无重复的排列。记作Anm'>AmnAnmA_n^m或PmnPnmP_n^m。
明显可以得到计算公式：

Pmn=n(n−1)(n−2)…(n−m+1)=n!(n−m)!Pnm=n(n−1)(n−2)…(n−m+1)=n!(n−m)!

P_n^m=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}
特别地，在 n=mn=mn=m的时候，称为全排列。

Pnn=n!Pnn=n!

P_n^n=n!

组合

从nnn个元素中取出m'>mmm个元素并成一组，叫做从nnn个不同元素中取出m'>mmm个元素的一个组合。又叫无重复的排列。记作CmnCnmC_n^m。
明显可以得到计算公式：

Cmn=PmnPmm=n!m!(n−m)!Cnm=PnmPmm=n!m!(n−m)!

C_n^m=\frac{P_n^m}{P_m^m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}

例题1

由1、2、3、4、5可以组成多少个没有重复的数字，并且大于21300的正整数？

解法1：

满足题意的数大致可以分成三类：
万位3，4，5的有P13×P44P31×P44P_3^1\times P_4^4个。
万位2，千位3，4，5的有P13×P33P31×P33P_3^1\times P_3^3个。
万位2，千位1的有P33P33P_3^3个。
由加法原理：P13×P44+P13×P33+P33=96P31×P44+P31×P33+P33=96P_3^1\times P_4^4+P_3^1\times P_3^3+P_3^3=96

解法2

由1，2，3，4，5组成的没有重复数位的五位数共有P55P55P_5^5个，其中只有万位数字为1的数不大于21300，这样的数有P44P44P_4^4个，故符合条件的正整数的个数是

P55−P44=5!−4!=96P55−P44=5!−4!=96

P_5^5-P_4^4=5!-4!=96

有重复的排列组合

可重复排列

从nnn个不同元素中取m'>mmm个元素(同一元素允许重复取出)，按照一定的顺序排成一列，叫做从nnn个不同元素中取m'>mmm个元素的可重复排列，这种排列的个数是nmnmn^m，用乘法原理易证。

可重复组合

从nnn个不同元素中取m'>mmm个元素(同一元素允许重复取出)，叫做从nnn个不同元素中取m'>mmm个元素的可重复组合，这种组合的个数是Cmn+m−1Cn+m−1mC_{n+m-1}^{m}

证明

用1，2，…，n1，2，…，n1，2，…，n表示n个不同的元素，那么可重复组合有以下的形式：

{i1,i2,…,im}(1≤i1≤i2≤…≤im≤n).{i1,i2,…,im}(1≤i1≤i2≤…≤im≤n).

\{i_1,i_2,…,i_m\}(1\leq i_1\leq i_2\leq…\leq i_m\leq n).
因为允许重复选取，等号可以成立。
将上述每个组合自左向右逐个分别加上：0，1，2，…,(m-1),得到 {j1,j2,…,j,m}{j1,j2,…,j,m}\{j_1,j_2,…,j_,m\}，其中 j1=i1,j2=i2+1,j3=i3+2，以此类推j1=i1,j2=i2+1,j3=i3+2，以此类推j_1=i_1,j_2=i_2+1,j_3=i_3+2，以此类推。这些j满足互不相同的条件，所以这是从 n+m−1n+m−1n+m-1中取 mmm个不同元素的组合。也就是Cn+m−1m'>Cmn+m−1Cn+m−1mC_{n+m-1}^{m}。

不全相异的全排列

如果nnn个元素中分别有n1,n2,…nk'>n1,n2,…nkn1,n2,…nkn_1,n_2,…n_k个元素相同，所以∑ki=1ni=n∑i=1kni=n\sum_{i=1}^{k}n_i=n其不同排列的个数有n!n1!n2!…nk!n!n1!n2!…nk!\frac{n!}{n_1!n_2!…n_k!}

证明

设符合条件的排列数为fff，因为每一类相同元素交换排列顺序，仍然属于同一种排列，如果每一类元素都换成互不相同的元素，则有n1!×n2!×…×nk!'>n1!×n2!×…×nk!n1!×n2!×…×nk!n_1!\times n_2!\times …\times n_k!种变化，于是根据乘法原理，可以得出nnn个不同元素的排列数为f×n1!×n2!×…×nk!'>f×n1!×n2!×…×nk!f×n1!×n2!×…×nk!f\times n_1!\times n_2!\times …\times n_k!，而实际上，nnn个不同元素的排列数应该为n!'>n!n!n!，于是得，f×n1!×n2!×…×nk!=n!f×n1!×n2!×…×nk!=n!f\times n_1!\times n_2!\times …\times n_k!=n!所以可求出fff。

多组组合

把n'>nnn个相异元素分为k(k≤n)k(k≤n)k(k\leq n)个按照一定顺序排列的组，其中第iii组有ni'>ninin_i个元素(i=1,2,…,k)(i=1,2,…,k)(i=1,2,…,k)。则不同的组合数有n!n1!n2!…nk!n!n1!n2!…nk!\frac{n!}{n_1!n_2!…n_k!}乘法原理易证。

例题2

从n>=6n>=6n>=6名乒乓球选手中选拔出3对选手准备参加双打比赛，共有多少种不同分法

解法1

从nnn名选手中选出6名选手有Cn6'>C6nCn6C_n^6种方法，将这6名选手分成3不同的组，每组2名的分法就是多组组合，但是因为三对选手不计顺序，故所求的方法数应为：

C6n×6!2!×2!×2!3!=n!48×(n−6)!Cn6×6!2!×2!×2!3!=n!48×(n−6)!

\frac{C_n^6\times \frac{6!}{2!\times 2!\times 2!}}{3!}=\frac{n!}{48\times (n-6)!}

解法2

从nnn名选手中找出6有Cn6'>C6nCn6C_n^6种方法，选出的6人中选出2人配对有C26C62C_6^2种方法，剩下4人再选出2人配对有C24C42C_4^2种方法，剩下2配对有1种方法，所以共有：

C6n×C26×C243!=n!48×(n−6)!Cn6×C62×C423!=n!48×(n−6)!

\frac {C_n^6\times C_6^2\times C_4^2}{3!}=\frac{n!}{48\times (n-6)!}

相异元素的圆排列和项链数

圆排列

将nnn个不同元素不分首尾排成一个圆，就是圆排列，n个元素的圆排列数有(n−1)!'>(n−1)!(n−1)!(n-1)!个。

项链数

将nnn个珠子用线串成一副项链，则得到的不同项链数当n=1或2的时候是1'>n=1或2的时候是1n=1或2的时候是1n=1或2的时候是1，当n>=3n>=3n>=3的时候是12×(n−1)!12×(n−1)!\frac12\times (n-1)!。也就是圆排列的一半。

一类不定方程的非负整数解的个数

不定方程x1+x2+…+xm=n(m,n∈N+)x1+x2+…+xm=n(m,n∈N+)x_1+x_2+…+x_m=n(m,n∈N_+)的非负整数解的个数为Cm−1n+m−1Cn+m−1m−1C_{n+m-1}^{m-1}

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