分类加法计数原理与分步乘法计数原理

[最新考纲]

1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．

2．会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.

知 识 梳 理

1．分类加法计数原理

完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，„„，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N

2．分步乘法计数原理

完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，„„，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m×mׄ×m种不同的方法．

3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．

辨 析 感 悟

1．两个计数原理的理解

(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(×)

(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(√)

(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(√)

(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．(×)

2．两个计数原理的应用

(5)(教材习题改编)三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有10种．(√)

(6)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有14个．(√)

[感悟·提升]

1．两点区别

一是分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类，简单的说分类的标准是“不重不漏，一步完成”，如(1)、(2)．

二是分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，在各个步骤中任取一种方法，即是完成这个步骤的一种方法，简单的说步与步之间的方法“相互独立，分步完成”，如(3)、(4)．

2．两点提醒

一是分类时，标准要明确，应做到不重不漏；可借助几何直观，探索规律，如(5)．

二是分步时，要合理设计顺序、步骤，并注意元素是否可以重复选取，如(6)中2,3可重复但至少各出现一次.

考点一 分类加法计数原理

【例1】

(2013·福建卷改编)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(

)．

A．14 B．13 C．12 D．9

解析 由于a，b∈{－1,0,1,2}．

b(1)当a＝0时，有x＝－2b＝－1,0,1,2有4种可能；

(2)当a≠0时，则方程有实根，

∴Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1.(*)

①当a＝－1时，满足(*)式的b＝－1,0,1,2有4种．

②当a＝1时，b＝－1,0,1，有3种可能．

③当a＝2时，b＝－1,0，有2种可能．

∴由分类加法计数原理，有序数对(a，b)共有4＋4＋3＋2＝13(个)．

答案 B 规律方法

分类标准是运用分类计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置．首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类．

【训练1】

某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )．

A．4种 B．10种 C．18种 D．20种

解析 赠送一本画册，3本集邮册，需从4人中选取一人赠送画册，其余送邮册，有C14种方法．

赠送2本画册，2本集邮册，只需从4人中选出2人送画册，其余2人送邮册，有C24种方法．

2由分类加法计数原理，不同的赠送方法有C14＋C4＝10(种)．

答案 B

考点二 分步乘法计数原理

【例2】

将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有(

)．

A．12种 B．18种 C．24种 D．36种

3解析 先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有A3种不同排法．再排

第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字

3母只有1种排法．因此共有A3·2·1＝12(种)不同的排列方法．

答案 A 规律方法

(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．

(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．

【训练2】

将一个四面体ABCD的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色，要求共端点的棱不能涂相同颜色，则不同的涂色方案有( )．

A．1种 B．3种 C．6种 D．9种

解析 因为只有三种颜色，又要涂六条棱，所以应该将四面体的对棱涂成相同的颜色．故有3×2×1＝6种涂色方案．

答案 C

考点三 两个计数原理的综合应用

【例3】

(2014·济南质检)如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有________.

审题路线 由于区域1,2,3不同色，因此应按区域1和区域3是否同色分类求解．

解析 按区域1与3是否同色分类；

(1)区域1与3同色；先涂区域1与3有4种方法，再涂区域2,4,5(还有3种颜色)

3有A3种方法．

3∴区域1与3涂同色，共有4A3＝24种方法．

(2)区域1与3不同色：先涂区域1与3有A24种方法，第二步涂区域2有2种涂色方法，第三步涂区域4只有一种方法，第四步涂区域5有3种方法．

2∴这时共有A4×2×1×3＝72种方法，

故由分类加法计数原理，不同的涂色种数为24＋72＝96.

答案 96

规律方法

(1)解决涂色问题，一定要分清所给的颜色是否用完，并选择恰当的涂色顺序．

(2)切实选择好分类标准，分清哪些可以同色，哪些不同色．

【训练3】

如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为(

)．

A．240 B．204

C．729 D．920

解析 若a2＝2，则“凸数”为120与121，共1×2＝2个．若a2＝3，则“凸数”有2×3＝6个．若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12个，„，若a2＝9，

满足条件的“凸数”有8×9＝72个．∴所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56

＋72＝240(个)．

答案 A

1．分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础并贯穿始终．(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类．(2)分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间的方法“相互独立，分步完成”．

2．(1)切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．(2)分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．

3．若综合利用两个计数原理，一般先分类再分步．