P3951,jzoj5473-小凯的疑惑【数论】(NOIP2017提高组)

#正题
评测记录：
https://www.luogu.org/recordnew/show/8283818

大意

两个币值（互质正整数），求不能完全（需要找零）的最贵的东西。

解题思路

首先众所周知ax+by=c而且a和b互质的正整数，c为正整数那么x和y一点有整数解
证明：

证明：因为x0，y0是方程①的整数解，当然满足ax0+by0=c，②
因此a（x0-bt）+b（y0+at）=ax0+by0=c．
这表明x=x0-bt，y=y0+at也是方程①的解．
设x′，y′是方程①的任一整数解，则有
ax′+by′=c．③
③-②得
a（x′-x0）=b′（y0-y′）．④
∵a，b是互质的正整数即（a，b）=1，
∴即y′=y0+at，其中t是整数．将y′=y0+at代入④，即得x′=x0-bt．
∴x′，y′可以表示成x=x0-bt，y=y0+at的形式，
∴x=x0-bt，y=y0+at表示方程①的一切整数解．

这道题可以求的就是
ax+by≠max{k}(0⩽x,y)ax+by\neq max\{k\}(0\leqslant x,y)ax+by=max{k}(0⩽x,y)
所以我们就是要求x<0ory<0x<0\ \ \ or\ \ \ y<0x<0 or y<0使ax+byax+byax+by最大
那么我们假设a>ba>ba>b
那么x=−1x=-1x=−1时ax+byax+byax+by最大
此时ax−bax-bax−b，而此时xxx取最大值使整个式子最大
最后最大值是(b−1)a−b(b-1)a-b(b−1)a−b,因为当x=bx=bx=b时可以合并同类项变为(a−1)b(a-1)b(a−1)b就可以进行表示了
然后(b−1)a−b=ab−a−b(b-1)a-b=ab-a-b(b−1)a−b=ab−a−b。
然后如果b>ab>ab>a推的话是一样的结果

代码

#include<cstdio>
using namespace std;
long long a,b;
int main()
{scanf("%lld%lld",&a,&b);printf("%lld",a*b-a-b);
}

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