数学分析数项级数(第12章)

一.级数的敛散性
1.相关概念
(1)数项级数与部分和数列:

(2)收敛与发散:

(3)原级数与部分和数列的关系:

2.级数收敛的柯西准则:

定理12.1:级数(1)收敛的充要条件是:对∀ε>0,∃N∈N+∀ε>0,∃N∈N_+∀ε>0,∃N∈N+,使得当m>Nm>Nm>N时,对∀p∈N+∀p∈N_+∀p∈N+都有∣um+1+...+um+p∣<ε(6)|u_{m+1}+...+u_{m+p}|<ε\qquad(6)∣um+1+...+um+p∣<ε(6)
相应地,级数(1)发散的充要条件是:∃ε0>0∃ε_0>0∃ε0>0,对∀N∈N+∀N∈N_+∀N∈N+,总∃N<m0∈N+∃N<m_0∈N_+∃N<m0∈N+和p0∈N+p_0∈N_+p0∈N+,有∣um0+1+...+um0+p0∣≥ε0(7)|u_{m_0+1}+...+u_{m_0+p_0}|≥ε_0\qquad(7)∣um0+1+...+um0+p0∣≥ε0(7)

推论:若级数(1)收敛,则lim⁡n→∞un=0\displaystyle\lim_{n \to \infty}u_n=0n→∞limun=0

3.级数的性质:

定理12.2:若级数∑un,∑vn\sum u_n,\sum v_n∑un,∑vn均收敛,则对∀常数c,dc,dc,d,级数∑(cun+dvn)\sum(cu_n+dv_n)∑(cun+dvn)也收敛,且∑(cun+dvn)=c∑un+d∑vn\sum(cu_n+dv_n)=c\sum u_n+d\sum v_n∑(cun+dvn)=c∑un+d∑vn

定理12.3:去除/增加/改变级数的有限个项不改变级数的敛散性

定理12.4:在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收敛性,也不改变级数的和

注意:该性质仅适用于收敛级数,对发散级数不适用;因此,从级数加括号后的收敛,不能推断其在加括号前也收敛,如(1−1)+(1−1)+...+(1−1)+...=0+0+...+0+...=0(1-1)+(1-1)+...+(1-1)+...=0+0+...+0+...=0(1−1)+(1−1)+...+(1−1)+...=0+0+...+0+...=0收敛,但1−1+1−1+...+1−1+...1-1+1-1+...+1-1+...1−1+1−1+...+1−1+...却是发散的

二.正项级数

1.一般判别原则
(1)正项级数收敛的充要条件:

定理12.5:正项级数∑un\sum u_n∑un收敛的充要条件是:部分和数列{Sn}\{S_n\}{Sn}有界,即∃M>0∃M>0∃M>0,对∀n∈N+∀n∈N_+∀n∈N+有Sn<MS_n<MSn<M

(2)正项级数收敛的比较判别法:

定理12.6:设∑un,∑vn\sum u_n,\sum v_n∑un,∑vn是2个正项级数,如果∃N>0∃N>0∃N>0,对∀n>N∀n>N∀n>N都有un≤vn(1)u_n≤v_n\qquad(1)un≤vn(1)则:①若∑vn\sum v_n∑vn收敛,则∑un\sum u_n∑un也收敛
\:\:\:\:\:②若∑un\sum u_n∑un发散,则∑vn\sum v_n∑vn也发散

2.比值判别法与根值判别法
(1)达朗贝尔判别法(D’Alembert Discriminance;比值判别法):

定理12.7:设∑un\sum u_n∑un为正项级数,且∃N0∈N+∃N_0∈N_+∃N0∈N+及常数0<q<10<q<10<q<1,则
①若对∀n>N0∀n>N_0∀n>N0,有不等式un+1un≤q(7)\frac{u_{n+1}}{u_n}≤q\qquad(7)unun+1≤q(7)成立,则∑un\sum u_n∑un收敛
②若对∀n>N0∀n>N_0∀n>N0,有不等式un+1un≥1(8)\frac{u_{n+1}}{u_n}≥1\qquad(8)unun+1≥1(8)成立,则∑un\sum u_n∑un发散

推论1(比值判别法的极限形式):设∑un\sum u_n∑un为正项级数,且lim⁡n→∞un+1un=q(9)\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=q\qquad(9)n→∞limunun+1=q(9)则①当q<1q<1q<1,∑un\sum u_n∑un收敛
\:\:\:\:②当q>1q>1q>1或q=+∞q=+\inftyq=+∞,∑un\sum u_n∑un收敛

如果某级数的(9)式的极限不存在,则可使用上/下极限来判别
推论2:设∑un\sum u_n∑un为正项级数,则
①若lim⁡n→∞‾un+1un=q<1\overline{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\frac{u_{n+1}}{u_n}=q<1n→∞limunun+1=q<1,则∑un\sum u_n∑un收敛
②若lim⁡n→∞‾un+1un=q>1\underline{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\frac{u_{n+1}}{u_n}=q>1n→∞limunun+1=q>1,则∑un\sum u_n∑un发散

(2)柯西判别法(Cauchy Discriminance;根值判别法):

定理12.8:设∑un\sum u_n∑un为正项级数,且∃N0>0∃N_0>0∃N0>0及常数l>0l>0l>0,则
①若对∀n>N0∀n>N_0∀n>N0,有不等式unn≤l<1(11)\sqrt[n]{u_n}≤l<1\qquad(11)nun≤l<1(11)成立,则∑un\sum u_n∑un收敛
②若对∀n>N0∀n>N_0∀n>N0,有不等式unn≥1(12)\sqrt[n]{u_n}≥1\qquad(12)nun≥1(12)成立,则∑un\sum u_n∑un发散

推论1(根值判别法的极限形式):设∑un\sum u_n∑un为正项级数,且lim⁡n→∞unn=l(13)\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{u_n}=l\qquad(13)n→∞limnun=l(13)则①当l<1l<1l<1,∑un\sum u_n∑un收敛
\:\:\:\:②当l>1l>1l>1,∑un\sum u_n∑un收敛

如果某级数的(13)式的极限不存在,则可使用上极限来判别
推论2:设∑un\sum u_n∑un为正项级数,且lim⁡n→∞‾unn=l\overline{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\sqrt[n]{u_n}=ln→∞limnun=l则当①l<1l<1l<1,∑un\sum u_n∑un收敛
\quad\:\:\:②l>1l>1l>1,∑un\sum u_n∑un发散

3.积分判别法

定理12.9:设fff为[1,+∞)[1,+\infty)[1,+∞)上的减函数,则级数∑n=1∞f(n)\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{f(n)}n=1∑∞f(n)收敛的充要条件是:无穷积分∫1+∞f(x)dx\int_1^{+\infty}f(x)dx∫1+∞f(x)dx收敛

4.拉贝判别法(Raabe Discriminance):

以p级数为比较标准,就得到拉贝判别法

定理12.10:设∑un\sum u_n∑un为正项级数,且∃N0∈N+∃N_0∈N_+∃N0∈N+及常数r>1r>1r>1,则
①若对∀n>N0∀n>N_0∀n>N0,有不等式n(1−un+1un)≥rn(1-\frac{u_{n+1}}{u_n})≥rn(1−unun+1)≥r成立,则∑un\sum u_n∑un收敛
②若对∀n>N0∀n>N_0∀n>N0,有不等式n(1−un+1un)≤1n(1-\frac{u_{n+1}}{u_n})≤1n(1−unun+1)≤1成立,则∑un\sum u_n∑un发散

推论(拉贝判别法的极限形式):设∑un\sum u_n∑un为正项级数,且极限lim⁡n→∞n(1−un+1un)\displaystyle\lim_{n \to \infty}n(1-\frac{u_{n+1}}{u_n})n→∞limn(1−unun+1)存在,则
①当r>1r>1r>1时,∑un\sum u_n∑un收敛
②当r<1r<1r<1时,∑un\sum u_n∑un发散

虽然拉贝判别法判别的范围比比值判别法或根值判别法更广泛,但当r=1r=1r=1时仍无法判别;由于没有收敛得最慢的收敛数.因此任何判别法都只能解决某类级数的收敛问题,而不能解决所有级数的收敛问题;当然,还可以建立比拉贝判别法更精细有效的判别法,但这个过程是无限的

三.一般项级数
1.交错级数
(1)概念:

(2)莱布尼兹判别法(Leibnitz Discriminance):

定理12.11:若交错级数(1)满足:
①数列{un}\{u_n\}{un}单调递减
②lim⁡n→∞un=0\displaystyle\lim_{n \to \infty}u_n=0n→∞limun=0
则交错级数(1)收敛

推论:若交错级数(1)满足莱布尼兹判别法的条件,则其余项估计式为:∣Rn∣≤un+1|R_n|≤u_{n+1}∣Rn∣≤un+1

2.绝对收敛级数
(1)概念:

关于级数(5)是否绝对收敛,可使用正项级数的判别法考察级数(6)
若级数(5)收敛,但级数(6)不收敛,则称级数(5)为条件收敛级数

(2)绝对收敛级数的敛散性:

定理12.12:绝对收敛级数一定收敛

(3)绝对收敛级数的性质:

级数的重排:

定理12.13:设级数(5)绝对收敛,且其和等于SSS,则任意重排后得到的级数(7)也绝对收敛,且有相同的和数

注意:由条件收敛级数重排后得到的新级数,即使收敛,也不一定收敛于原来的和数
实际上,条件收敛级数适当重排后,可得到发散级数或收敛于任何指定数的级数

级数的乘积:

定理12.14(柯西定理):若级数(11),(12)都绝对收敛,则对(13)中所有乘积按任意顺序排列所得到的级数∑i,juivj=∑wn\displaystyle\sum_{i,j}u_iv_j=\sum w_ni,j∑uivj=∑wn也绝对收敛,且其和等于ABABAB

3.阿贝尔判别法与狄利克雷判别法
(1)分部求和公式(阿贝尔变换):

引理:设εi,vi(i=1,2...n)ε_i,v_i\,(i=1,2...n)εi,vi(i=1,2...n)为2组实数,若令σk=v1+v2+...+vk(k=1,2...n)σ_k=v_1+v_2+...+v_k\,(k=1,2...n)σk=v1+v2+...+vk(k=1,2...n)则有如下分布求和公式成立:∑i=1nεivi=(ε1−ε2)σ1+(ε2−ε3)σ2+...+(εn−1−εn)σn−1+εnσn(18)\displaystyle\sum_{i=1}^nε_iv_i=(ε_1-ε_2)σ_1+(ε_2-ε_3)σ_2+...+(ε_{n-1}-ε_n)σ_{n-1}+ε_nσ_n\qquad(18)i=1∑nεivi=(ε1−ε2)σ1+(ε2−ε3)σ2+...+(εn−1−εn)σn−1+εnσn(18)

(2)阿贝尔引理:

推论:若
(i)ε1,ε2...εn(i)\:ε_1,ε_2...ε_n(i)ε1,ε2...εn是单调数组
(ii)(ii)\:(ii)对∀k∈N+(1≤k≤n)∀k∈N_+\,(1≤k≤n)∀k∈N+(1≤k≤n)有∣σk∣≤A(σk=v1+...+vk)|σ_k|≤A\,(σ_k=v_1+...+v_k)∣σk∣≤A(σk=v1+...+vk)
则记ε=max{∣εk∣}ε=max\{|ε_k|\}ε=max{∣εk∣},有∣∑k=1nεkvk∣≤3εA|\displaystyle\sum_{k=1}^nε_kv_k|≤3εA∣k=1∑nεkvk∣≤3εA

下面寻找用于判断级数∑anbn=a1b1+a2b2+...+anbn+...(20)\sum a_nb_n=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n+...\qquad(20)∑anbn=a1b1+a2b2+...+anbn+...(20)敛散性的判别法

(3)阿贝尔判别法(Abel Discriminance):

定理12.15:若{an}\{a_n\}{an}为单调有界数列,且级数∑bn\sum b_n∑bn收敛,则级数(20)收敛

由阿贝尔判别法可知:若∑un\sum u_n∑un收敛,则∑unnp(p>0),∑unn+1\sum\frac{u_n}{n^p}\,(p>0),\sum\frac{u_n}{\sqrt{n+1}}∑npun(p>0),∑n+1un也收敛

(4)狄利克雷判别法(Dirichlet Discriminance):

定理12.16:若数列{an}\{a_n\}{an}单调递减,且lim⁡n→∞an=0\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=0n→∞liman=0,右级数∑bn\sum b_n∑bn的部分和数列有界,则级数(20)收敛

四.一些重要级数的敛散性
1.等比级数(也称几何级数)的敛散性:

2.调和级数的敛散性:

3.p级数的敛散性:

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