【数项级数】敛散性判别

2024-05-27 10:20:27

阅读本篇之前，建议可以先看一下上一篇文章哦！
【数项级数】无穷个数相加一定是个数吗？

柯西收敛准则判断级数敛散性

基本思想
利用柯西收敛准则判断级数是否收敛
推论：
定理

基本思想

在上一篇文章中，初识数项级数，我们是怎么判断它是收敛还是发散的呢？

主要思想是既然我们无法求无穷多项的和，但是我们求前n项部分和，而对于有限项的求和，我们是熟悉的，如果这n个数构成了等比数列，那就可以利用等比数列求和公式来计算；如果这n个数可以每一项可以拆开，后面的项可以和前面的项进行相消，我们也可以来计算……

然后取不同的n，计算的和也是不同的，每次计算的和构成一个数列。我们关心的是，对于取充分大的n，其和是否都收敛到同一个值。

虽然判断数项级数是否收敛的理论是这样的。但是实际上，我们需要更加直接地通过这n个数来判断它是否收敛。

所以，我们需要，从无穷多个参与求和运算的数来给出这个级数是否收敛与否的判断。

利用柯西收敛准则判断级数是否收敛

数列的柯西收敛准则

级数的柯西收敛准则

通过柯西收敛准则，我们不需要判断部分和，我们只需要看对充分大的n开始的某一段（充分远的某一段）充分小。

推论：

若 ∑ a n \sum a_{n} ∑an收敛，则 a n a_{n} an→0.
证明：
因为 ∑ a n 收敛， \sum a_{n}收敛， ∑an收敛，所以部分和 S n → S S_{n}→S Sn→S
a n = S n − S n − 1 → 0 a_{n}=S_{n}-S_{n-1}→0 an=Sn−Sn−1→0

所以，级数收敛，通项一定趋于0，但是通项趋于0，级数未必收敛，例如 a n = 1 n → 0 a_{n}=\frac{1}{n}→0 an=n1→0，但是 ∑ a n \sum a_{n} ∑an发散。

定理

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