高等数学笔记-苏德矿

第十一章级数(Ⅰ)-数项级数

第一节级数的概念和性质

一、级数的概念

01 无穷级数

设 u1,u2,…,un,…u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}, \ldotsu1,u2,…,un,… 是一个数列，则和 ∑n=1∞un=u1+u2+⋯+un+⋯\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}=u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}+\cdotsn=1∑∞un=u1+u2+⋯+un+⋯ 称为数项级数或无穷级数 ( 简称级数 ) 。

02 项与通项

和式中的每一项称为级数的项，unu_{n}un 称为级数的通项（或一般项）.

03 前nnn项部分和

而其中，Sn=∑n=1nun=u1+u2+⋯+unS_n = \sum \limits_{n=1}^{n} u_{n}=u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}Sn=n=1∑nun=u1+u2+⋯+un 称为级数的前nnn项部分和.

04 级数收敛

若存在 lim⁡n→∞Sn=S\lim \limits_{n \rightarrow \infty} S_{n}=Sn→∞limSn=S，则称级数 ∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}n=1∑∞un 收敛，且收敛于 SSS.

05 级数发散

若存在 lim⁡n→∞Sn\lim \limits_{n \rightarrow \infty} S_{n}n→∞limSn 不存在，则称级数 ∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}n=1∑∞un 发散.

06 级数的和与余和

若级数 ∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}n=1∑∞un 收敛于 SSS，则称 SSS 为级数的和，记为 ∑n=1∞un=S\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}=Sn=1∑∞un=S；

称 rn=∑k−n+1∞uk=S−Snr_{n}=\sum \limits_{k-n+1}^{\infty} u_{k}=S-S_{n}rn=k−n+1∑∞uk=S−Sn 为级数的余和，且显然有 lim⁡n→∞rn=0\lim \limits_{n \rightarrow \infty}r_n=0n→∞limrn=0.

二、两个重要的级数

01 p−p-p−级数 ∑n=1∞1np\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}n=1∑∞np1

讨论:p−级数∑n=1∞1np的敛散性(1)p=1,则原级数=∑n=1∞1n=11+12+13+⋯+1n−1+1n。设f(x)=1x,显然f(x)在[n,n+1]上递减(n∈N),且n⩽x⩽n+1,则1n+1⩽1x⩽1n,则1n+1=∫nn+11n+1dx⩽∫nn+11xdx⩽∫nn+11ndx=1n,因此1⩾∫121xdx,12⩾∫231xdx,13⩾∫341xdx,⋯,1n−1⩾∫n−1n1xdx,1n⩾∫nn+11xdx,所以Sn=11+12+13+⋯+1n−1+1n⩾∫121xdx+∫231xdx+∫341xdx+⋯+∫n−1n1xdx+∫nn+11xdx=∫1n+11xdx=ln⁡x∣1n+1=ln⁡(n+1)所以lim⁡n→∞Sn⩾lim⁡n→∞ln⁡(n+1),显然lim⁡n→∞Sn→+∞,级数发散。另外,级数∑n=1∞1n发散，该级数称为调和级数(2)p≠1,则原级数=∑n=1∞1np=11p+12p+13p+⋯+1(n−1)p+1np。①p<1,有np<n⇒1np>1n,则Sn=∑n=1n1np>∑n=1n1n(调和级数)由正项级数的比较判别法可知，级数发散。②p>1,设f(x)=1xp,显然f(x)在[n,n+1]上递减(n∈N),且np⩽xp⩽(n+1)p,则1(n+1)p⩽1x⩽1np,则Sn=11p+12p+13p+⋯+1(n−1)p+1np(Sn显然是递增数列)⩽1+∫121xpdx+∫231xpdx+⋯+∫n−1n1xpdx+∫nn+11xpdx=(其中，11p⩽∫011xpdx为第二p广义积分且发散，故1项不进行放缩)<1+∫121xpdx+∫231xpdx+⋯+∫n−1n1xpdx+∫nn+11xpdx+∫n+1+∞1xpdx=1+∫1+∞1xpdx(其中，∫1+∞1xpdx为第一p广义积分且收敛)所以lim⁡n→∞Sn有上界,级数收敛。综上,对于p−级数∑n=1∞1np,p>1时收敛,p⩽1时发散。\begin{aligned} & 讨论:p-级数\ \ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}的敛散性\\ & \quad\quad \ \ (1)\ \ p=1 \ , \ 则原级数=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}=\frac11+\frac12+\frac13+\cdots+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}\ 。 \\ & \quad\quad \ \ \quad\quad设\ f(x)=\frac1x \ , \ 显然\ f(x)\ 在\ [n,n+1] \ 上递减 \ (n\in N) \ , \ \\ & \quad\quad \ \ \quad\quad且\ n \leqslant x \leqslant n+1 \ , \ 则\ \frac{1}{n+1}\leqslant \frac1x \leqslant\frac{1}{n} \ , \ \\ & \quad\quad \ \ \quad\quad则\ \frac{1}{n+1}=\int _{n}^{n+1}\frac{1}{n+1}dx\ \leqslant \int _{n}^{n+1}\frac1x\ dx \leqslant\int _{n}^{n+1}\frac{1}{n}\ dx=\frac{1}{n} \ , \ \\ & \quad\quad \ \ \quad\quad因此\ 1\geqslant\int _{1}^{2}\frac1x\ dx \ , \ \frac12\geqslant\int _{2}^{3}\frac1x\ dx \ , \ \frac13\geqslant\int _{3}^{4}\frac1x\ dx \ , \ \cdots \ , \ \frac{1}{n-1}\geqslant\int _{n-1}^{n}\frac1x\ dx\ , \ \frac{1}{n}\geqslant\int _{n}^{n+1}\frac1x\ dx \ , \ \\ & \quad\quad \ \ \quad\quad所以\ S_n=\frac11+\frac12+\frac13+\cdots+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n} \geqslant \\ & \quad\quad \ \ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\int _{1}^{2}\frac1x\ dx+\int _{2}^{3}\frac1x\ dx+\int _{3}^{4}\frac1x\ dx+\cdots+\int _{n-1}^{n}\frac1x\ dx+\int _{n}^{n+1}\frac1x\ dx=\\ \\ & \quad\quad \ \ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\int _{1}^{n+1}\frac1x\ dx=\left.\ln x\right|_{1} ^{n+1}=\ln(n+1)\\ \\ & \quad\quad \ \ \quad\quad所以\ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} S_{n}\geqslant\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \ln(n+1) \ , \ 显然\ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} S_{n} \rightarrow +\infty \ , \ 级数发散。\\ & \quad\quad \ \ \quad\quad另外 \ , \ 级数\ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}发散，该级数称为调和级数 \\ & \quad\quad \ \ (2)\ \ p\neq1 \ , \ 则原级数=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}=\frac{1}{1^p}+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\cdots+\frac{1}{(n-1)^p}+\frac{1}{n^p}\ 。 \\ & \quad\quad\quad \ \ ①\ \ p<1 \ , \ 有\ n^p<n\Rightarrow \frac{1}{n^p}>\frac{1}{n} \ , \ 则\ S_{n}=\sum\limits_{n=1}^{n} \frac{1}{n^p}>\sum\limits_{n=1}^{n} \frac{1}{n}\ (调和级数) \\ & \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad由正项级数的比较判别法可知，级数发散。\\ & \quad\quad\quad \ \ ②\ \ p>1 \ , \ 设\ f(x)=\frac{1}{x^p} \ , \ 显然\ f(x)\ 在\ [n,n+1] \ 上递减 \ (n\in N) \ , \ \\ & \quad\quad \ \ \quad\quad且\ n^p \leqslant x^p \leqslant (n+1)^p \ , \ 则\ \frac{1}{(n+1)^p}\leqslant \frac1x \leqslant\frac{1}{n^p} \ , \ \\ & \quad\quad \ \ \quad\quad则\ S_{n}=\frac{1}{1^p}+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\cdots+\frac{1}{(n-1)^p}+\frac{1}{n^p}\ \ (S_{n}\ 显然是递增数列)\\ & \quad\quad \ \ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\leqslant\ 1+\int _{1}^{2}\frac{1}{x^p}\ dx+\int _{2}^{3}\frac{1}{x^p}\ dx+\cdots+\int _{n-1}^{n}\frac{1}{x^p}\ dx+\int _{n}^{n+1}\frac{1}{x^p}\ dx=\\ & \quad\quad \ \ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad (其中，\frac{1}{1^p}\leqslant\int _{0}^{1}\frac{1}{x^p}dx\ 为第二\ p\ 广义积分且发散，故1项不进行放缩)\\ & \quad\quad \ \ \quad\quad\quad\quad\quad\quad<\ 1+\int _{1}^{2}\frac{1}{x^p}\ dx+\int _{2}^{3}\frac{1}{x^p}\ dx+\cdots+\int _{n-1}^{n}\frac{1}{x^p}\ dx+\int _{n}^{n+1}\frac{1}{x^p}\ dx+\int _{n+1}^{+\infty}\frac{1}{x^p}\ dx=\\ & \quad\quad \ \ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad 1+\int _{1}^{+\infty}\frac{1}{x^p}\ dx\ \ (其中，\int _{1}^{+\infty}\frac{1}{x^p}\ dx\ 为第一\ p\ 广义积分且收敛)\\ & \quad\quad \ \ \quad\quad所以\ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} S_{n}\ 有上界 \ , \ 级数收敛。\\ & 综上 \ , \ 对于\ p-级数\ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \ , \ p>1\ 时收敛 \ , \ p\leqslant1\ 时发散。\\ \end{aligned} 讨论:p−级数 n=1∑∞np1的敛散性 (1) p=1 , 则原级数=n=1∑∞n1=11+21+31+⋯+n−11+n1 。设 f(x)=x1 , 显然 f(x) 在 [n,n+1] 上递减 (n∈N) , 且 n⩽x⩽n+1 , 则 n+11⩽x1⩽n1 , 则 n+11=∫nn+1n+11dx ⩽∫nn+1x1 dx⩽∫nn+1n1 dx=n1 , 因此 1⩾∫12x1 dx , 21⩾∫23x1 dx , 31⩾∫34x1 dx , ⋯ , n−11⩾∫n−1nx1 dx , n1⩾∫nn+1x1 dx , 所以 Sn=11+21+31+⋯+n−11+n1⩾ ∫12x1 dx+∫23x1 dx+∫34x1 dx+⋯+∫n−1nx1 dx+∫nn+1x1 dx= ∫1n+1x1 dx=lnx∣1n+1=ln(n+1) 所以 n→∞limSn⩾n→∞limln(n+1) , 显然 n→∞limSn→+∞ , 级数发散。另外 , 级数 n=1∑∞n1发散，该级数称为调和级数 (2) p=1 , 则原级数=n=1∑∞np1=1p1+2p1+3p1+⋯+(n−1)p1+np1 。 ① p<1 , 有 np<n⇒np1>n1 , 则 Sn=n=1∑nnp1>n=1∑nn1 (调和级数)由正项级数的比较判别法可知，级数发散。 ② p>1 , 设 f(x)=xp1 , 显然 f(x) 在 [n,n+1] 上递减 (n∈N) , 且 np⩽xp⩽(n+1)p , 则 (n+1)p1⩽x1⩽np1 , 则 Sn=1p1+2p1+3p1+⋯+(n−1)p1+np1 (Sn 显然是递增数列) ⩽ 1+∫12xp1 dx+∫23xp1 dx+⋯+∫n−1nxp1 dx+∫nn+1xp1 dx= (其中，1p1⩽∫01xp1dx 为第二 p 广义积分且发散，故1项不进行放缩) < 1+∫12xp1 dx+∫23xp1 dx+⋯+∫n−1nxp1 dx+∫nn+1xp1 dx+∫n+1+∞xp1 dx= 1+∫1+∞xp1 dx (其中，∫1+∞xp1 dx 为第一 p 广义积分且收敛) 所以 n→∞limSn 有上界 , 级数收敛。综上 , 对于 p−级数 n=1∑∞np1 , p>1 时收敛 , p⩽1 时发散。

02 几何级数 (等比级数) ∑n=1∞aqn−1\sum\limits_{n=1}^{\infty} aq^{n-1}n=1∑∞aqn−1

讨论:几何级数∑n=1∞aqn−1的敛散性(1)∣q∣≠1,则XXXXXXX。①∣q∣<1,则Sn=∑n=1naqn−1=首项(1−公比项数)1−公比=a(1−∣q∣n)1−∣q∣=a1−∣q∣,级数收敛。②∣q∣>1,则Sn=∑n=1naqn−1=首项(1−公比项数)1−公比=a(1−∣q∣n)1−∣q∣→−∞,级数发散。(2)∣q∣=1,①q=1,则∑n=1∞aqn−1=na,级数发散。②q=−1,则∑n=1∞aqn−1={0n=2man=2m+1,级数发散。综上,对于几何级数∑n=1∞aqn−1,∣q∣<1时收敛,∣q∣⩾1时发散。\begin{aligned} & 讨论:几何级数\ \ \sum\limits_{n=1}^{\infty} aq^{n-1}的敛散性\\ & \quad\quad \ \ (1)\ \ |q|\neq1 \ , \ 则XXXXXXX。 \\ & \quad\quad\quad \ \ ①\ \ |q|<1 \ , \ 则 S_{n}=\sum\limits_{n=1}^{n} aq^{n-1}=\frac{首项(1-公比^{项数})}{1-公比}=\frac{a(1-|q|^n)}{1-|q|}=\frac{a}{1-|q|}\ \ , \ 级数收敛。 \\ & \quad\quad\quad \ \ ②\ \ |q|>1 \ , \ 则 S_{n}=\sum\limits_{n=1}^{n} aq^{n-1}=\frac{首项(1-公比^{项数})}{1-公比}=\frac{a(1-|q|^n)}{1-|q|}\rightarrow-\infty\ \ , \ 级数发散。 \\ & \quad\quad \ \ (2)\ \ |q|=1 \ , \ \\ & \quad\quad\quad \ \ ①\ \ q=1 \ , \ 则 \sum\limits_{n=1}^{\infty} aq^{n-1}=na\ \ , \ 级数发散。 \\ & \quad\quad\quad \ \ ②\ \ q=-1 \ , \ 则 \sum\limits_{n=1}^{\infty} aq^{n-1}=\begin{cases}\ 0 \quad n=2m \\ \ a \quad n=2m+1 \end{cases} \ , \ 级数发散。 \\ & 综上 \ , \ 对于几何级数\ \ \sum\limits_{n=1}^{\infty} aq^{n-1} \ , \ |q|<1\ 时收敛 \ , \ |q|\geqslant1\ 时发散。\\ \end{aligned} 讨论:几何级数 n=1∑∞aqn−1的敛散性 (1) ∣q∣=1 , 则XXXXXXX。 ① ∣q∣<1 , 则Sn=n=1∑naqn−1=1−公比首项(1−公比项数)=1−∣q∣a(1−∣q∣n)=1−∣q∣a , 级数收敛。 ② ∣q∣>1 , 则Sn=n=1∑naqn−1=1−公比首项(1−公比项数)=1−∣q∣a(1−∣q∣n)→−∞ , 级数发散。 (2) ∣q∣=1 , ① q=1 , 则n=1∑∞aqn−1=na , 级数发散。 ② q=−1 , 则n=1∑∞aqn−1={ 0n=2m an=2m+1 , 级数发散。综上 , 对于几何级数 n=1∑∞aqn−1 , ∣q∣<1 时收敛 , ∣q∣⩾1 时发散。

三、级数收敛的必要条件

必要条件

若级数 ∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}n=1∑∞un 收敛，则 lim⁡n→∞un=0\lim \limits_{n \rightarrow \infty} u_{n}=0n→∞limun=0（一般项是无穷小）
必要条件的逆否命题

若 lim⁡n→∞un≠0\lim \limits_{n \rightarrow \infty} u_{n}\neq0n→∞limun=0，则级数 ∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}n=1∑∞un 发散。
注意
- ∑n=1∞un≠0\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \neq 0n=1∑∞un=0 或 ∑n=1∞un=∞(不存在)\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} = \infty \text{(不存在)}n=1∑∞un=∞(不存在) ⇒\Rightarrow⇒ ∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}n=1∑∞un 发散
- ∑n=1∞un=0\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} = 0n=1∑∞un=0 不一定导出 ∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}n=1∑∞un 收敛

四、级数的基本性质

性质1（线性性质）

若级数 ∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}n=1∑∞un 收敛到 SSS，级数 ∑n=1∞vn\sum \limits_{n=1}^{\infty} v_{n}n=1∑∞vn 收敛到 TTT ，则级数 ∑n=1∞(αun±βvn)\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(\alpha u_{n} \pm \beta v_{n}\right)n=1∑∞(αun±βvn) 收敛到 αS+βT\alpha S+\beta TαS+βT。
性质2（有限敛散不变性）

将级数增加、删减或改换有限项，不改变级数的敛散性。

级数的敛散性只关注靠后的无穷多项。
性质3（合并敛散不变性）

表述1：若级数收敛于和 SSS，则将相邻若干项相加作一项而组成的新级数仍然收敛于 SSS。

表述2：若级数收敛于和 SSS，则在该级数中任意添加括号得到的新级数也收敛，且仍然收敛于 SSS。

一般级数反之不成立 ⇒\Rightarrow⇒ 反例： ∑n=1∞(−1)n\sum \limits_{n=1}^{\infty} (-1)^nn=1∑∞(−1)n 。正向级数反之亦成立。
性质4（收敛的必要条件）

若级数收敛，则级数一般项的极限趋于零。反之不成立。

反例：调和级数。

第二节正项级数的敛散性

一、正项级数的概念

若级数 ∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}n=1∑∞un 满足 un⩾0u_n \geqslant 0un⩾0，则称之为正项级数。

显然正项级数的部分和 SnS_nSn 单调增加，因此有如下定理：

正项级数 ∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}n=1∑∞un 收敛 $ \xleftrightarrow{ 充分必要条件 } $ 部分和 SnS_nSn 有上界。

二、正项级数敛散性判别法

01 比较判别法

若级数∑n=1∞un与∑n=1∞vn均为正项级数,且un⩽vn,则有∑n=1∞vn收敛⇒∑n=1∞un收敛.∑n=1∞un发散⇒∑n=1∞vn发散.\begin{aligned} & 若级数 \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}\ 与 \sum \limits_{n=1}^{\infty} v_{n}\ 均为正项级数 \ , \ 且 u_n \leqslant v_n \ , \ 则有\\ & \quad\quad\quad\quad\quad\sum \limits_{n=1}^{\infty} v_{n} \text{收敛} \Rightarrow \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{收敛.} \\ & \quad\quad\quad\quad\quad\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{发散} \Rightarrow \sum \limits_{n=1}^{\infty} v_{n} \text{发散.} \end{aligned} 若级数n=1∑∞un 与n=1∑∞vn 均为正项级数 , 且un⩽vn , 则有n=1∑∞vn收敛⇒n=1∑∞un收敛.n=1∑∞un发散⇒n=1∑∞vn发散.

02 比阶判别法

比较判别法的极限形式
若级数∑n=1∞un与∑n=1∞vn均为正项级数,且lim⁡n→∞unvn=l,则有当 0<l<+∞时，∑n=1∞un与∑n=1∞vn同敛散。当 l=0时，∑n=1∞vn收敛⇒∑n=1∞un收敛。当 l=+∞时，∑n=1∞vn发散⇒∑n=1∞un发散。\begin{aligned} & 若级数 \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \ 与 \sum \limits_{n=1}^{\infty} v_{n} \ 均为正项级数 \ , \ 且 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac {u_{n}}{v_{n}}=l \ , \ 则有\\ & \quad \ \; \text{当} \ 0<l<+\infty \ \text{时，} \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{与} \sum \limits_{n=1}^{\infty} v_{n} \text{同敛散。}\\ & \quad \ \; \text{当} \ l=0 \ \text{时，} \sum \limits_{n=1}^{\infty} v_{n} \text{收敛} \Rightarrow \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{收敛。} \\ & \quad \ \; \text{当} \ l=+\infty \ \text{时，} \sum \limits_{n=1}^{\infty} v_{n} \text{发散} \Rightarrow \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{发散。} \end{aligned} 若级数n=1∑∞un 与n=1∑∞vn 均为正项级数 , 且n→∞limvnun=l , 则有当 0<l<+∞ 时，n=1∑∞un与n=1∑∞vn同敛散。当 l=0 时，n=1∑∞vn收敛⇒n=1∑∞un收敛。当 l=+∞ 时，n=1∑∞vn发散⇒n=1∑∞un发散。

03 比值判别法

达朗贝尔判别法
若正项级数∑n=1∞un满足lim⁡n→∞un+1un=l,则有当 0⩽l<1时，∑n=1∞un收敛.当 l>1时，∑n=1∞un发散.当 l=1时，无法判断。\begin{aligned} & 若正项级数 \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} 满足 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=l \ , \ 则有\\ & \quad \ \; \text{当} \ 0\leqslant l<1\ \text{时，} \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{收敛.} \\ & \quad \ \; \text{当} \ l>1\ \text{时，} \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{发散.} \\ & \quad \ \; \text{当} \ l=1\ \text{时，} 无法判断。\\ \end{aligned} 若正项级数n=1∑∞un满足n→∞limunun+1=l , 则有当 0⩽l<1 时，n=1∑∞un收敛. 当 l>1 时，n=1∑∞un发散. 当 l=1 时，无法判断。

若 un+1u_{n+1}un+1 与 unu_nun 有公因式，尝试比值判别法。

04 根植判别法

柯西判别法
若正项级数∑n=1∞un满足lim⁡n→∞unn=l,则有当 0⩽l<1时，∑n=1∞un收敛.当 l>1时，∑n=1∞un发散.当 l=1时，无法判断。\begin{aligned} & 若正项级数 \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} 满足 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{u_n}=l \ , \ 则有\\ & \quad \ \; \text{当} \ 0 \leqslant l<1 \ \text{时，} \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{收敛.} \\ & \quad \ \; \text{当} \ l>1 \ \text{时，} \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{发散.} \\ & \quad \ \; \text{当} \ l=1\ \text{时，} 无法判断。\\ \end{aligned} 若正项级数n=1∑∞un满足n→∞limnun=l , 则有当 0⩽l<1 时，n=1∑∞un收敛. 当 l>1 时，n=1∑∞un发散. 当 l=1 时，无法判断。

05 积分判别法

若非负函数f(x)在(a,+∞)时单调减少，级数∑n=1∞un的通项un=f(n)，则级数∑n=1∞un与积分∫a+∞f(x)dx有相同的敛散性。\begin{aligned} & 若非负函数 f(x) 在 (a,+\infty) 时单调减少，级数 \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} 的通项 u_{n}=f(n) ，\\ & 则级数 \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} 与积分 \int_{a}^{+\infty} f(x) d x \ 有相同的敛散性。 \end{aligned} 若非负函数f(x)在(a,+∞)时单调减少，级数n=1∑∞un的通项un=f(n)，则级数n=1∑∞un与积分∫a+∞f(x)dx 有相同的敛散性。

06 判别法小结

比值和根值判别法实际上可看作是在将级数与等比级数作比较，当所求极限存在时，可称级数是拟等比级数。
比较判别法是将一般性un,vnu_n,v_nun,vn 作无穷小比较。通常我们取 vnv_nvn 为 1np\frac{1}{n^p}np1，因此这时实际上我们在分析无穷小的阶。
判断正项级数收敛的方法：
- ① 前 nnn 项和有上界
- ② 判别法；③ 比阶判别法
- ④ 比值判别法；⑤ 根植判别法
- ⑥ 级数收敛必要条件逆否命题
- ⑦ 线性运算法则；⑧ 定义
级数 ∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}n=1∑∞un 与级数 ∑n=1∞l⋅un(l≠0)\sum \limits_{n=1}^{\infty} l\cdot u_{n}\ (l\neq0)n=1∑∞l⋅un (l=0) 同敛散。
当 un⩽0u_n \leqslant 0un⩽0 时，级数 ∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}n=1∑∞un 为负项级数，转换为研究正项级数 ∑n=1∞(−un)\sum \limits_{n=1}^{\infty} (-u_{n})n=1∑∞(−un) 。

第三节任意项级数的收敛性

一、交错级数收敛性的判别

01 交错级数的概念

各项正负相间的级数称为交错级数，其形式为 ∑n=1∞(−1)n−1un\sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} u_{n}n=1∑∞(−1)n−1un 或 ∑n=1∞(−1)nun\sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} u_{n}n=1∑∞(−1)nun （其中 un>0u_n>0un>0）.

02 莱布尼兹判别法

若交错级数 ∑n=1∞(−1)n−1un\sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} u_{n}n=1∑∞(−1)n−1un （其中 un>0u_n>0un>0）满足 {un⩾un+1lim⁡n→∞un=0\begin{cases}{u_{n} \geqslant u_{n+1}} \\ \\ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} u_{n}=0 \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧un⩾un+1n→∞limun=0 ，

则级数 ∑n=1∞(−1)n−1un\sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} u_{n}n=1∑∞(−1)n−1un 收敛，且其余和的绝对值小于 un+1u_{n+1}un+1，即 ∣∑k=n+1∞uk∣<un+1\left|\sum \limits_{k=n+1}^{\infty} u_{k}\right|<u_{n+1}∣∣∣∣k=n+1∑∞uk∣∣∣∣<un+1 .

二、绝对收敛与条件收敛

01 绝对收敛

若级数 ∑n=1∞∣un∣\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left|u_{n}\right|n=1∑∞∣un∣ 收敛，则称 ∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}n=1∑∞un 绝对收敛。

02 条件收敛

若级数 ∑n=1∞∣un∣\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left|u_{n}\right|n=1∑∞∣un∣ 发散，而级数 ∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}n=1∑∞un 收敛，则称级数 ∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}n=1∑∞un 条件收敛。

03 关于绝对收敛的命题

若级数 ∑n=1∞∣un∣\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left|u_{n}\right|n=1∑∞∣un∣ 收敛，则级数 ∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}n=1∑∞un 收敛。
若级数绝对收敛，则级数收敛。

三、绝对值下的判别法推广

01 绝对值的比值判别法

若一般级数∑n=1∞un满足lim⁡n→∞∣un+1∣∣un∣=l,则有当 0⩽l<1时，∑n=1∞un收敛当 l>1时，∑n=1∞un发散 (lim⁡n→∞un=∞≠0)当 l=1时，无法判断\begin{aligned} & 若一般级数 \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} 满足 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{|u_{n+1}|}{|u_{n}|}=l \ , \ 则有\\ & \quad \ \; \text{当} \ 0\leqslant l<1\ \text{时，} \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{收敛} \\ & \quad \ \; \text{当} \ l>1\ \text{时，} \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{发散}\ (\lim \limits_{n \rightarrow \infty} u_{n}=\infty\neq 0)\\ & \quad \ \; \text{当} \ l=1\ \text{时，} 无法判断\\ \end{aligned} 若一般级数n=1∑∞un满足n→∞lim∣un∣∣un+1∣=l , 则有当 0⩽l<1 时，n=1∑∞un收敛当 l>1 时，n=1∑∞un发散 (n→∞limun=∞=0) 当 l=1 时，无法判断

02 绝对值的根植判别法

若一般级数∑n=1∞un满足lim⁡n→∞∣un∣n=l,则有当 0⩽l<1时，∑n=1∞un收敛当 l>1时，∑n=1∞un发散 (lim⁡n→∞un=∞≠0)当 l=1时，无法判断\begin{aligned} & 若一般级数 \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} 满足 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|u_n|}=l \ , \ 则有\\ & \quad \ \; \text{当} \ 0 \leqslant l<1 \ \text{时，} \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{收敛} \\ & \quad \ \; \text{当} \ l>1 \ \text{时，} \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{发散}\ (\lim \limits_{n \rightarrow \infty} u_{n}=\infty\neq 0) \\ & \quad \ \; \text{当} \ l=1\ \text{时，} 无法判断\\ \end{aligned} 若一般级数n=1∑∞un满足n→∞limn∣un∣=l , 则有当 0⩽l<1 时，n=1∑∞un收敛当 l>1 时，n=1∑∞un发散 (n→∞limun=∞=0) 当 l=1 时，无法判断

四、判断一般级数敛散性的方法

绝对值比值判别法
绝对值根植判别法
绝对收敛判别法
莱布尼兹判别法
级数收敛必要条件逆否命题
线性运算法则
根据级数的定义