6.4 系统聚类的性质及类的确定

(3)根据统计量确定

上一讲介绍了 R-square，这里再补充 3 个用于确定分类个数的统计量。半偏 R-square：

即 k+1 类的 R-square 减去 k 类的 R-square，其用于衡量 k 类与 k+1 类的 R-square 的增值 。如果半偏 R-square 比较大，说明 k+1 类的 R-square 更大，更合理，因此不应该合并为 k 类。伪 F 统计量：

因为比较像 F 分布的定义，所以称为“伪F”

Bk 是组间平方，我们希望 B_k 比较大，进而当伪 F 统计量的值比较大的时候，认为其效果良好。伪 t2 统计量：

评价将类 K 和类 L 合并的效果。这是半偏 R-square 的变形，同样地，当它比较大的时候，认为 k+1 类更好。

(4)根据谱系图

几个准则：各类重心之间的距离必须很大(各类差异性显著)；

确定的类中,各类所包含的元素不要很多；

类的个数必须符合实用目的；

若采用几种不同的聚类方法处理,则在各自的聚类图中应发现相同的类。

例子-- 16 个地区的聚类

6.5 动态聚类法

当样本量比较大时，系统聚类的计算量很大。

动态聚类法基本思想：首先选取 k 个点，其两两间的距离比较大；由此确定出初始的分类，并评估该分类的好坏，如果不好则调整分类。

流程图如下动态聚类的步骤

其优点是适用于大样本，计算简单。缺点是依赖于初始的 k 个点。

改进：换一批凝聚点，如果两种分类结果相同，则接受。否则考虑另外的聚类算法。

(一)凝聚点的选取与初始分类的确定

(1)凝聚点选取

人为选择的三种方法：用经验来确定分类数目，并从每一类中挑具有代表性的

先人为分成 k 类，然后取每一类的重心

确定一个正数 d，首先将所有样本的均值作为凝聚点，如果某样本与现有的凝聚点的距离均大于 d，则加入凝聚点。

密度法确定凝聚点(常用)：首先确定半径 d，然后计算以每个样本为中心，半径为 d 的球中样本的数目，称为该样本的密度。密度越大，说明与该样本接近的样本比较多，适合作为某一类的中心选择密度最大的作为第一凝聚点

人为选取 D(常取为 2d)，当密度第二大的样本与第一凝聚点的距离大于 D 时，加入作为凝聚点；否则舍去，再考察密度第三大的

按密度大小依次考察，直至选择完毕

随机选取(一般不用)：如果对样本的性质一无所知，可以随机数生成，或就取前 k 个

(2)初始分类的确定

方法：人为经验确定

每个样品归并到与其最近的凝聚点中(可以在归并过程中，将类的重心作为新的凝聚点)

极值标准化，令

对每个样品计算

如果这个数最接近整数 l，那么归入第 l 类。用某种聚类方法得到初始分类。样本量大的时候，可以用部分样品聚类，选取每类重心作为凝聚点，然后再将其它样本归到每个类.

(二)逐步聚类法

(1)按批修改法

确定好初始分类后，计算每一类的均值作为新的凝聚点，然后再对所有样本按照“距离最近”原则进行重新分类。

自然地，如果当最后所有的凝聚点都与上一步相同时，停止。(但如果凝聚点始终再变化？)分类函数

定义样品 i 到第 j 类的距离为

分类函数定义为

其中

为第 i 个样品所属的类别编号，如

表示样品 1 属于第 2 类。分类函数就是所有样品到其所属类别的距离之和最小，也就是“离差平方和最小”

按批修改的原则是使得分类函数达到最小，直至不能再减小时停止。

例 将 1 4 5 7 11 用按批修改法进行动态聚类

解首先选取凝聚点：

令 d = 2，D = 4，得到各个点的密度为0 1 2 1 0。第一个凝聚点为 5，第二、第三凝聚点分别为 1、11(与第一凝聚点的距离大于 D).得到初始分类：

初始的分类为{1}、{4 5 7}、{11}.修改重心：各类的均值分别为1、16/3、11

重新分类：发现结果与上一步相同，停止。

注1：按批修改法的优点是计算量小,速度快,但结果依赖于凝聚点的选择.

注2︰有时并不要求过程收敛，只是人为规定这个修改过程重复若干次就行了.

注3：在按批修改法中,有人将步骤3改为：计算每一类重心，取老凝聚点与重心连线的对称点作为新凝聚点转到步骤2。如果某一步新老凝聚点重合,则过程终止。这样做某些场合会有好的结果.

(2)逐步修改法( K-means)

按批修改：所有点都分好类之后再改

逐步修改：先确定 k 个凝聚点，将其余 n-k 个点逐个分类，并在分类之后用该类的均值作为新的凝聚点。

步骤：定义样品间的距离，认为决定分类数 K，类间距离的最小值 C，类内距离的最大值 R。取前 K 个作为凝聚点

计算这 K 个凝聚点两两之间的距离，如果最小距离小于 C，就将其合并为一类，令其重心作为新的凝聚点。不断重复，至所有类间距离都至少为 C.

将剩下的 n-K 个样品不断归类，如果某个样品到所有凝聚点的最小距离都大于 R(说明不该分为同一类)，则作为新的凝聚点；反之，如果最小距离小于等于 R，则将其归入该类，并用归并后的重心作为新的凝聚点。(此时需要判断所有凝聚点的距离是否大于等于 C，如果有两个凝聚点的距离小于 C，返回上一步迭代)

所有样品归类后，得到最终的凝聚点。选取这组凝聚点重新开始迭代，如果结果相同则停止，否则继续迭代。

例 将 1 4 5 7 11 用逐步修改法(K-means)进行动态聚类

解定义距离，确定三个参数：

用欧氏距离，取 K=3,C=2,R=3，用 1 4 5 作为初始凝聚点计算凝聚点两两距离：

发现 4 和 5 的距离为 1，小于给定的 C，因此将其归并为{4,5}，取重心 4.5 作为新的凝聚点。此时凝聚点为 1 和 4.5考虑剩下的样品：

首先考虑 7，它与 4.5 接近，且距离为 2.5 小于给定的 R，分到 {4 5} 中。此时凝聚点为 1 和 16/3。然后考虑 11，它到 16/3 的距离更近，但是距离为 17/3，大于给定的 R，应该作为新的凝聚点。

至此分为 {1}、{4 5 7}、{11}三类用最终凝聚点从头开始分类：上一步最后的凝聚点为 1、16/3、11，令为初始凝聚点重复第二第三步，得到相同结果，分类结束。

注1：逐步修改法与考虑样本的顺序有关，如果上面过程在考虑样本时从后往前，那么结果不同。

注2：逐个修改法的最终分类与三个参数有关，因此在计算过程中最好让三个参数适当变化，最后根据实际问题的要求取舍聚类结果。

实际分析聚类问题时，考虑按照如下流程图实际聚类问题分析的流程

6.6 有序样品的聚类法(最优分割法)

如果我们的样品有某种顺序，那么在聚类的时候不能打乱这种顺序。例如：① ② ③ ④不能聚类为{① ③}和{② ④}。实际问题中的有序样品：按照深度划分地层的结构

有序样品聚类问题其实也就是划分问题，要确定的是每一类的起点和中点。

基本思想：一开始分为 1 类，然后分为 2，3 直到 n 类，要求分类后的离差平方和达到最小。

(一)步骤

(1)定义类的直径

常用这一类样品的离差平方和作为这一类的直径：

其中 i 和 j 分别为类 G 的起点和终点。如果分类分对了，那么每一点与该类的中心的距离不能太大，进而每一类的直径都不会太大，再而所有类的直径之和不会太大

如果样品是一维的，也可以定义直径为

其中

为类 G 的中位数。

(2)定义分类的损失函数

损失函数就是所有类的离差平方和再加起来。

离差平方和的和

要寻求分点，使得这个损失函数最小。

(3)递推公式

如果是两类，那么只需要确定一个结点 j，这时对 j 从 2 到 n 取遍，计算损失函数的最小值。而考虑分为3 类时，分为两类的最佳结点 j 可以沿用，此时考察将 1 到 j-1 分为 2类，计算这一部分样本分为两类后的总离差平方和，再加上 j 到 n 部分的离差平方和，得到分为 3 类的损失函数的最小值。

4 类及以上同理。

(4)最优解的求法(递归)

递归一步有

再递归

不断进行下去，最终递归基为二分类问题，二分类用循环暴力找最优结点，然后就可以确定回溯得到多分类的最优结点。

****有时间就编程实现一下****

(二)应用举例

将下面的有序数据进行聚类

计算直径D(i,j)：

例如 D(1,2) 为 (9.3,1.8) 的离差平方和

得到直径矩阵如下通过递归得到最小损失函数：决定分类个数：

如果分为 3 类，根据上表，最后的结点为 8，然后再查看 1-7 分为两类的最优结点是 2，所以分为 3 类的结果为{1}，{2 3 4 5 6 7}，{8 9 10 11}如何确定分类个数？

观察损失函数的最小值随着 k 的变化曲线

在 k = 3 或 4 处拐弯，取分类个数为 3 或 4 较好。

此外如果曲线比较平缓，没有明显的拐弯点，可采用均方比或特征根法。

6.7 变量聚类方法

前面都是对样本聚类，现在考虑对随机变量来聚类。

(一)变量聚类的系统聚类法

(1)就当样本聚类做

此时数据矩阵作一转置，但这样做没有考虑到变量之间的相似性

(2)相关阵距离

生成变量的相关矩阵，然后用 1-相关矩阵的绝对值 得到变量间的距离矩阵。进而用各种系统聚类方法求解。