1.3 收敛数列的性质

本部分主要包括《数学分析教程》中的1.3收敛数列的性质的相关概念和定理，并给出定理的证明或者证明思路

与收敛数列有关的定理

如果{an}\{a_{n}\}{an}收敛，则极限唯一

证明思路：反证，再利用收敛数列的等价几何描述

收敛数列有界

证明思路：利用收敛数列的几何描述，选aaa的1邻域，得∃N\exists N∃N，当n>Nn>Nn>N时，有∣an∣<∣a∣+1|a_{n}|<|a|+1∣an∣<∣a∣+1，再令M=∣a1∣+∣a2∣+∣a3∣+...+∣aN∣+∣a∣+1M=|a_{1}|+|a_{2}|+|a_{3}|+...+|a_{N}|+|a|+1M=∣a1∣+∣a2∣+∣a3∣+...+∣aN∣+∣a∣+1或者M=max⁡{∣a1∣,∣a2∣,∣a3∣,...,∣aN∣,∣a∣+1}M=\max\{|a_{1}|, |a_{2}|, |a_{3}|,..., |a_{N}|, |a|+1\}M=max{∣a1∣,∣a2∣,∣a3∣,...,∣aN∣,∣a∣+1}，则MMM为收敛数列的上下界，即收敛数列有界。

收敛数列极限为aaa，则{an}\{a_{n}\}{an}任何一个子列都收敛于aaa

证明思路：令bn=aknb_{n}=a_{k_{n}}bn=akn，kn≥n>Nk_{n}\geq n>Nkn≥n>N，∣bn−a∣=∣akn−a∣<ϵ|b_{n}-a|=|a_{k_{n}}-a|<\epsilon∣bn−a∣=∣akn−a∣<ϵ
注意：这种方法常用于证明数列发散

数列{an}\{a_{n}\}{an}收敛⟺{a2n},{a2n−1}\iff\{a_{2n}\}, \{a_{2n-1}\}⟺{a2n},{a2n−1}都收敛

证明思路：必要性证明方法与上一条方法相同；充分性证明思路，对于奇数项和偶数项分别有K1,∣a2k−a∣<ϵK_{1}, |a_{2k}-a|<\epsilonK1,∣a2k−a∣<ϵ和K2,∣a2k−1−a∣<ϵK_{2}, |a_{2k-1}-a|<\epsilonK2,∣a2k−1−a∣<ϵ，再取N=max⁡{2K1,2K2−1}N=\max\{2K_{1}, 2K_{2}-1\}N=max{2K1,2K2−1}

数列的四则运算

设{an}\{a_{n}\}{an}与{bn}\{b_{n}\}{bn}收敛，则{an+bn},{anbn},{an/bn}\{a_{n}+b_{n}\}, \{a_{n}b_{n}\}, \{a_{n}/b_{n}\}{an+bn},{anbn},{an/bn}也收敛（注意最后一个需要保证lim⁡n→∞bn≠0\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_{n}\neq0n→∞limbn=0，且有如下三条性质

1. lim⁡(an±bn)=lim⁡an±lim⁡bn\lim(a_{n}\pm b_{n})=\lim a_{n}\pm\lim b_{n}lim(an±bn)=liman±limbn

证明思路：∣(an±bn)−(a±b)∣≤∣an−a∣+∣bn−b∣|(a_{n}\pm b_{n})-(a\pm b)|\leq|a_{n}-a|+|b_{n}-b|∣(an±bn)−(a±b)∣≤∣an−a∣+∣bn−b∣

2. lim⁡anbn=lim⁡anlim⁡bn\lim a_{n}b_{n}=\lim a_{n}\lim b_{n}limanbn=limanlimbn

特别的有lim⁡can=clim⁡an\lim ca_{n}=c\lim a_{n}limcan=climan

证明思路：∣anbn−ab∣=∣anbn−abn+abn−ab∣|a_{n}b_{n}-ab|=|a_{n}b_{n}-ab_{n}+ab_{n}-ab|∣anbn−ab∣=∣anbn−abn+abn−ab∣

3. lim⁡anbn=lim⁡anlim⁡bn\lim\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{\lim a_{n}}{\lim b_{n}}limbnan=limbnliman

证明思路：分两步首先由∣1bn−1b∣=∣bn−b∣bnb≤2b2∣bn−b∣<ϵ|\frac{1}{b_{n}}-\frac{1}{b}|=\frac{|b_{n}-b|}{b_{n}b}\leq\frac{2}{b_{2}}|b_{n}-b|<\epsilon∣bn1−b1∣=bnb∣bn−b∣≤b22∣bn−b∣<ϵ得到lim⁡1bn=1b\lim\frac{1}{b_{n}}=\frac{1}{b}limbn1=b1；然后再由第二条相乘的性质，我们有lim⁡anbn=lim⁡an(1bn)=ab\lim\frac{a_{n}}{b_{n}}=\lim a_{n}(\frac{1}{b_{n}})=\frac{a}{b}limbnan=liman(bn1)=ba

收敛数列与无穷小量的关系

1. {an}\{a_{n}\}{an}为无穷小⟺{∣an∣}\iff\{|a_{n}|\}⟺{∣an∣}为无穷小

2. 和或差仍然为无穷小

3. {an}\{a_{n}\}{an}为无穷小，{cn}\{c_{n}\}{cn}为有界数列则{cnan}\{c_{n}a_{n}\}{cnan}为无穷小

4.
设0≤an≤bn0\leq a_{n}\leq b_{n}0≤an≤bn，若{bn}\{b_{n}\}{bn}为无穷小，则{an}\{a_{n}\}{an}也为无穷小

5. lim⁡n→∞an=a⟺{an−a}\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\iff\{a_{n}-a\}n→∞liman=a⟺{an−a}为无穷小

注意：由于无穷小一定是有界的，所以有第三条性质我们有，两个无穷小的乘积也为无穷小，但是商未必是无穷小，比如{1n}\{\frac{1}{n}\}{n1}与{1n2}\{\frac{1}{n^{2}}\}{n21}的商{n}\{n\}{n}

夹逼定理

设an≤bn≤cn(n∈N∗)a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}(n\in N^{*})an≤bn≤cn(n∈N∗)，如果lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞cn=a\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}c_{n}=an→∞liman=n→∞limcn=a，则lim⁡n→∞bn=a\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_{n}=an→∞limbn=a

证明思路：取bn−anb_{n}-a_{n}bn−an，再由无穷小性质4

一些保序性

1.
设lim⁡n→∞an=a\lim\limits_{n\rightarrow \infty}a_{n}=an→∞liman=a, α<a<β\alpha < a < \betaα<a<β，则当nnn充分大的时候，an>αa_{n}>\alphaan>α；同样当nnn充分大的时候an<βa_{n}<\betaan<β

证明思路：取ϵ=a−α\epsilon=a-\alphaϵ=a−α

2.
设lim⁡n→∞an=a\lim\limits_{n\rightarrow \infty}a_{n}=an→∞liman=a, lim⁡n→∞bn=b,a<b\lim\limits_{n\rightarrow \infty}b_{n}=b, a < bn→∞limbn=b,a<b，则当nnn充分大的时候，一定有an<bna_{n} < b_{n}an<bn

证明思路：令m=a+b2m=\frac{a+b}{2}m=2a+b，有a<m<ba < m < ba<m<b，再由第一条性质可知，∃N\exists N∃N，当n>Nn>Nn>N时，an<m<bna_{n} < m < b_{n}an<m<bn

3.
设lim⁡n→∞an=a,lim⁡n→∞bn=b\lim\limits_{n\rightarrow \infty}a_{n}=a, \lim\limits_{n\rightarrow \infty}b_{n}=bn→∞liman=a,n→∞limbn=b，并且当nnn充分大的时候，an<bna_{n} < b_{n}an<bn，则有a<ba< ba<b

证明思路：用反证法，设a>ba>ba>b，由第二条性质可知，当nnn充分大时，an<bna_{n} < b_{n}an<bn，与假设矛盾

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