入门数学（二）素数，质因数分解

素数筛选

“埃式筛法”

具体步骤：引用百度百科

求25以内的所有素数

列出2以后的所有序列：
- 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
标出序列中的第一个素数，也就是2，序列变成：
- 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
将剩下序列中，划掉2的倍数，序列变成：
- 2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
如果现在这个序列中最大数小于最后一个标出的素数的平方，那么剩下的序列中所有的数都是素数，否则回到第二步。
本例中，因为25大于2的平方，我们返回第二步：
剩下的序列中第一个素数是3，将主序列中3的倍数划掉，主序列变成：
- 2 3 5 7 11 13 17 19 23 25
我们得到的素数有：2，3
25仍然大于3的平方，所以我们还要返回第二步：
现在序列中第一个素数是5，同样将序列中5的倍数划掉，主序列成了：
- 2 3 5 7 11 13 17 19 23
我们得到的素数有：2，3，5 。
因为23小于5的平方，跳出循环.

结论：2到25之间的素数是：2 3 5 7 11 13 17 19 23。

原理当从小到大达到某数a时，如果a没有被前面步骤的数筛去，那么a一定是素数。因为，如果a不是素数，那么a一定有小于a的因子，这样在之前的步骤中a一定会被筛去。所以当枚举到a时，还没有被筛去，那么a一定为素数。

代码如下

const int maxn = 101;
int prime[maxn], pNum = 0;
bool p[maxn] = {0};
void Find_Prime(){for(int i = 2; i < maxn; i++){if(p[i] == false){prime[pNum++] = i;for(int j = i + i; j < maxn; j += i){p[j] = true;}}}
}

质因子分解

时间复杂度O（根号n）

由于每个质因子都可能出现不只一次，所以我们用结构体factor用来存放质因子及其个数，

const int maxn = 101;
struct factor{int x, cnt;   //x为质因子数，cnt为其个数
}fac[maxn];

例如给你个180 求 180fac【】数组如下

fac[0].x = 2;
fac[0].cnt = 2;fac[1].x = 3;
fac[1].cnt = 2;fac[2].x = 5;
fac[2].cnt = 1;

因为 2 * 3 * 5 * 7 * 11 *13 *17 *19 * 23 *29 已经超过int 的范围，所有对于一个int 类型的数求他的质因数，fac【】数组只需要开到10即可。

对于任意一个数 n 来说。如果它存在除了1 和它本身之外的因子，那么一定是在sqrt（n）的左右成对出现的。而题上问是这个数的质因子，那么这个范围又会进一步缩小，对于一个整数n来说，如果它存在【2，n】范围内的质因子，要么这些质因子全部小于等于sqrt（n）要么只存在一个大于sqrt（n）的质因子，其余质因子全部小于等于sqrt(n)。

做法：枚举1~sqrt(n)范围内的所有因子p，判断p是否是n的因子。

如果p是n的因子，那么fac【】数组中增加质因子p，并初始化其个数为 0，继续除以p每次令p的个数+1，直到p不再是n的因子为止。

if(n % prime[i] == 0){fac[num].x = prime[i];fac[num].cnt = 0;while(n % prime[i] == 0){fac[num].cnt++;n /= prime[i]; }num++;
}

如果p不是n的因子直接跳过。

如果在上述操作后n还>1,说明n有且只有一个大于sqrt(n) 的质因子（可能就是n本身），这时需要把这个因子+入fac数组，并令其个数为1

if(n != 1){fac[num].x = n;fac[num++].cnt = 1;
}

时间复杂度O（根号n）。