【PAT笔记】数学问题——素数和质因数

1 素数

1.1 素数的判断

素数的判断较为简单，直接上代码，需要注意的几点：

bool isPrime(int n){if(n==1) return false;       //1需要特判int sqr=(int)sqrt(n*1.0);    //之所以要用这条语句而不是在for循环里使用sqrt(n)，解释如下for(int i=2;i<=sqr;i++){if(n%i==0) return false;}return true;
}

在上面的代码中，其中需要用到一条 int sqr=(int)sqrt(n*1.0); 用来在循环中做一个循环边界呢。首先可以从 double sqrt(double) 可以看出，sqrt()的返回值和参数都是double类型的。在计算机中，小数都是不精确的，如，sqrt(9)是等于3.000000000001还是2.999999999999都是不好讲的。有的计算机可能给出前者，有的则可能是后者，这样对我们循环的边界的判断造成了影响。于是就用到了上面一行代码，转化参数的数据类型，保证sqrt得到我们想要的值。

1.2 素数表的获取

下面给出两个方法。

首先是比较常用的，对n不超过 $10^{^{\boldsymbol{5}}}$ 是可以的，复杂度包括了判断是否为素数O( $\sqrt{n}$ )和遍历从1到n的复杂度O(n)，因此第一种方式（对n不超过 $10^{^{\boldsymbol{5}}}$ ）的时间复杂度为O(n $\sqrt{n}$ ) 。下面给出代码：

const int maxn=101;
int Prime[maxn],pNum=0;    //数组Prime()存放所有的素数，pNum为素数的个数
bool p[maxn]={0};
void Find_Prime(){for(int i=1;i<maxn;i++){if(isPrime(i)==true){    //判断是否为素数Prime[pNum++]=i;p[i]=true;}}
}

其次是时间复杂度更小的一种方式，为O( $n\log (\log (n))$ )，这是一种什么原理的，我们来看：

2是素数，因此去掉所有2的倍数，如4,6,8,10,12,14,16,18,20；
3没有被前面的步骤筛去，所以3是素数，因此去掉所有3的倍数，如6,9,12,15,18；
4被前面的步骤筛去了，所以4不是素数；
5没有被前面的步骤筛去，所以5是素数，因此去掉所有5的倍数，如5,10,15,20；
6被前面的步骤筛去了，所以6不是素数；
……

由上面可以看出，当从小到大达到达到某数n的时候，如果n没有被前面的步骤筛去，那么n就一定是素数。原理是：当n不是素数时，必然有小于n的质因数，这样在之前筛去质因数的倍数的时候就应该把n筛去了。所以，当n没有被前面步骤筛去的时候，就一定是一个素数。于是可以给出如下代码：

const int maxn=101;
int Prime[maxn],pNum;    //同样的道理，建立一个数组Prime来存放素数，pNum为苏数的个数
bool p[maxn]={0};    //素数为0，非素数为1
void Find_Prime(int n){for(int i=2;i<max;i++){if(p[i]==0){Prime[pNum++]=i;for(int j=i;j<maxn;j += i){p[j]=true;}}}
}

2 质因数的分解

质因数分解就是将一个整数n分解成若干个素数乘积的形式，如8=2 $\times$ 2 $\times$ 2，18=2 $\times$ 2 $\times$ 3 $\times$ 3等等。素数的寻找上面已经讲过了，而且值得注意的是2 $\times$ 3 $\times$ 5 $\times$ 7 $\times$ 11 $\times$ 13 $\times$ 17 $\times$ 19 $\times$ 23 $\times$ 29的积就已经超过了int型的上限了。

我们对于质因数的分解，不妨先设一个结构体：

struct factor{int x,cnt;    //x代表了质因数，cnt代表了该质因数的个数
}fac[10];

那么对于180来说，就有

fac[0].x=2;
fac[0].cnt=2;fac[1].x=3;
fac[1].cnt=2;fac[2].x=5;
fac[2].cnt=1;

首先枚举1~sqrt(n)范围内所有质因子p，判断p是否为n的质因数。

const num=0;
void Find_Factor(int n){for(int i=0;i<10;i++){if(n%Prime[i]==0){fac[num].x=Prime[i];fac[num].cnt=0;while(n%fac[num].x==0){fac[num].cnt++;n=n/fac[num].x;}num++;}}
}

如果在上边步骤结束后n人大于1，说明n有且仅有一个质因子（即n本身），这时需要将这个质因子加入fac数组，令其个数为1.

if(n!=1){fac[num].x=n;fac[num++].cnt=1;
}

解释完毕