太玄学了！

我真的被概率的魅力折服了。此前我认为1便是1，0.9999999999…便是0.9999999999…。
但实际上它们有着千丝万缕的关系。
试想，如果一件事发生的概率是0.9999999999，你觉得它是不是必然事件？
数学逻辑严谨的人说：“emmmm，这得回到‘必然事件’的定义上去。所以嘛，其实还是差了一丢丢的。”
然而，抛开束缚人的数学定义，从直观上讲，我们完全可以相信，这件事全然是一件必然事件。
那人还说：“我信仰！我就是要在十个铭文位中选一个祸源！”
那好吧，或许我说服不了你，但你且看这个算法，我相信你会改变你的想法。

（介于作者水平，我就只讲做法。至于原理，你感兴趣的话自己下去证吧。不会把不会吧，不会真有人感兴趣吧[奸笑] ）

今天有个好朋友将从头到尾一直陪伴着我们，它是rand()。

素数判定:Miller Rabin算法

初阶:费马小定理

玄学的素数判定法：Miller_Rabin算法
先搬出费马小定理：
x n − 1 ≡ 1 ( m o d n ) x^{n-1}\equiv1\pmod n xn−1≡1(modn)
这个式子成立的前提是 gcd ⁡ ( x , n ) = 1 \gcd(x,n)=1 gcd(x,n)=1。那么我们反过来用，如果我们让x先n-1次幂，如果对n取模结果不为1，那么 gcd ⁡ ( x , n ) \gcd(x,n) gcd(x,n)便是 n n n的一个因子了(注意, 并不是说 x ∣ n x\mid n x∣n,而是 g c d ( x , n ) ∣ n gcd(x,n)\mid n gcd(x,n)∣n,这就是高级之处所在) 。而这个x当然不会让它从 2 2 2到 n \sqrt{n} n 这样for一遍，这样效率是没有变化的。出其不意地，我们会让x=rand()%(n-1)+1，即在 [ 1 , n − 1 ] [1,n-1] [1,n−1]从随机选一个数。

非常神奇，这样选出来的数，按以往的方法，去尝试 n % x = = 0 ? n\%x==0? n%x==0?命中的概率十分低，然而去尝试 x n − 1 % n ! = 1 ? x^{n-1} \% n\ \ !=1\ \ ? xn−1%n !=1 ?，概率却能大大UP！你不服可以自己去试一下，据说至少是 3 4 \frac{3}{4} 43的概率能成功，而实测更高，我还没找到需要随机两次的。。。即使真是保底 3 4 \frac{3}{4} 43的概率成功，我们做它10次， 1 − ( 1 4 ) 10 = 0.99999904632568359375 1-(\frac{1}{4})^{10}=0.99999904632568359375 1−(41)10=0.99999904632568359375，成功率上升到了这个数，你觉得稳了吗？

据此，注意细节，写出代码：

bool miller_rabbin(__int64 n)
{__int64 i,a;for(i=0;i<50;i++)//自己调节次数{a=rand()%(n-2)+2;//printf("test%d:%I64d\n",i,a);if(mod_exp(a,n-1,n)!=1)return false;}return true;
}

进阶:二次勘测定理

这还只是一个低配版的素数判断。我们再摆出一条式子，二次探测定理：
x 2 ≡ 1 ( m o d p ) ⇒ x 1 = 1 , x 2 = n − 1 x^{2}\equiv 1\pmod p\Rightarrow x1=1,x2=n-1 x2≡1(modp)⇒x1=1,x2=n−1
用人话说，如果p是素数，如果x的平方的满足左边的式子，那么x一定是1或n-1（在对p取模下）。我的理解是，如果p为素数，数A是平方得到的数，且A满足 A 2 % n = 1 A^{2}\%n=1 A2%n=1，那么平方前的数必为1或n-1。

这是另一个判断方法。

然后我们考虑把上面两种方法撮合在一起。
随机一个数x，我们想做费马小定理检验，则需要 x p − 1 x^{p-1} xp−1，对p-1进行变化，看成 p − 1 = 2 k ∗ u p-1=2^k*u p−1=2k∗u, 整体可以看成 x p − 1 = x 2 k ⋅ u = ( x u ) 2 ⋅ 2... ⋅ 2 x^{p-1}=x^{2^{k}\cdot u}=(x^{u})^{2\cdot 2...\cdot2} xp−1=x2k⋅u=(xu)2⋅2...⋅2.

我们对 x = x u x=x^u x=xu进行二次探测定理检验，不符合定理前提或者检验通过，就把 x = x 2 x=x^2 x=x2，反复进行. 直到x变到了 x p − 1 x^{p-1} xp−1.

这个时候就是费马小定理的检验时刻, 直接判断x是否为1. 不是的话, 说明不是素数, 这其实就回到了我们上面给出的第一种方案.

第二种方案, 是把第一种方案的快速幂过程拆解了一下, 在中途插入二次探测定理的检验.

bool miller_rabin(ll n)
{if(n==2) return true;if(n<2||n%2==0) return false;ll u=n-1,pre,x;int k=0;while(!(u&1)) u>>=1,k++;for(int T=1;T<=10;T++){x=rand()%(n-1)+1;x=qkpow(x,u,n);for(int i=1;i<=k;i++){pre=x;x=qkmul(x,x,n);if(x==1 && pre!=1 && pre!=n-1) return false;}if(x!=1) return false;}return true;
}

质因数分解:Pollard Rho算法

这个其实没怎么搞懂…
拿题目poj1811来讲,要求一个数的最小质因数. 思路如图, 先找到一个因数d, 那么n/d是它的另一个因数, 分别去求d和n/d的因数,知道为不可再分的质数.

如何找因数是一个玄学问题. 由于我也不能理解, 便只是将步骤记录如下:

随机两个数x, c. 为的是一个玄学的函数 f ( x ) = x 2 + c f(x)=x^2+c f(x)=x2+c
定义y,i,k. (i=1) i,k都是用来计数的,每进行 2 k 2 ^{k} 2k次运算就要重新将y赋为当前的x.所以一开头就要了(y=x)
开始循环, x=f(x).
求 gcd ⁡ ( ∣ x − y ∣ , n ) \gcd(|x-y|,n) gcd(∣x−y∣,n), 我们的主角并非x,也并非y, 是x与y的产物 ∣ x − y ∣ |x-y| ∣x−y∣
gcd()!=1? 如果gcd的结果不是1！！！那我们就成功了, 返回gcd的结果即可.
否则判断x==y? 是否进入了 ρ \rho ρ的头部, 进入了, 接下来的工作没有意义
i++,开始下一个循环 同时注意k是否等于i

好了,希望大家能明白…
代码如下(提醒用C++交,G++会RE, poj1811)

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
typedef long long ll;
const ll INF=0x3f3f3f3f;
using namespace std;ll qkmul(ll a,ll b,ll mod)
{ll re=0;while(b){if(b&1) re=(re+a)%mod;a=(a+a)%mod;b>>=1;}return re;
}
ll qkpow(ll a,ll b,ll mod)
{ll re=1;//debug re=0;while(b){if(b&1) re=qkmul(re,a,mod);a=qkmul(a,a,mod);b>>=1;}return re;
}
ll Gcd(ll x,ll y)
{if(x==0) return y;if(x<0) return Gcd(-x,y);return y==0?x:Gcd(y,x%y);
}bool miller_rabin(ll n)
{if(n==2) return true;if(n<2||n%2==0) return false;ll u=n-1,pre,x;int k=0;while(!(u&1)) u>>=1,k++;for(int T=1;T<=10;T++){x=rand()%(n-1)+1;x=qkpow(x,u,n);for(int i=1;i<=k;i++){pre=x;x=qkmul(x,x,n);if(x==1 && pre!=1 && pre!=n-1) return false;}if(x!=1) return false;}return true;
}ll pollard_rho(ll n,ll c)
{int i=1,k=2;ll x=rand()%n,y=x;while(1){x=(qkmul(x,x,n)+c)%n;ll gcd=Gcd(y-x,n);if(gcd>1&&gcd<n) return gcd;if(x==y) return n;if(i==k) y=x,k<<=1;i++;}
}ll minn;
void Find(ll n)
{if(miller_rabin(n)){minn=min(minn,n);return ;}ll p=n;while(p==n)p=pollard_rho(p,rand()%(n-1)+1);Find(p);Find(n/p);
}int main()
{srand(time(0));int BRI;scanf("%d",&BRI);while(BRI--){ll n;scanf("%lld",&n);if(miller_rabin(n)){puts("Prime");continue;}minn=INF;Find(n);printf("%lld\n",minn);}return 0;
}

素数判定质因数分解(数论)(Miller Rabin)(Pollard Rho)相关推荐

1702 素数判定 2[[一中数论随堂练]
1702 素数判定 2 时间限制: 1 s 空间限制: 128000 KB 题目等级 : 钻石 Diamond 题解题目描述 Description 一个数,他是素数么? 设他为P满足(P&l ...
Poj 1811 Prime Test 素数测试 Miller-Rabin 与整数的因子分解 Pollard rho
随机化算法,想尝试自己写一下,最后还是变成了抄代码... 代码参考了:POJ 1811 Prime Test(大素数判断和素因子分解) - kuangbin - 博客园学习链接: Miller-Ra ...
入门数学（二）素数，质因数分解
素数筛选 "埃式筛法" 具体步骤:引用百度百科求25以内的所有素数列出2以后的所有序列: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ...
[信息学奥赛一本通-T1620]质因数分解-数论
题目描述原题来自:NOIP 2012 普及组已知正整数 n 是两个不同的质数的乘积,试求出较大的那个质数. 输入输入只有一行,包含一个正整数 n. 输出输出只有一行,包含一个正整数 p,即较大 ...
数学--数论--随机算法--Pollard Rho 大数分解算法（带输出版本）
RhoPollard Rho是一个著名的大数质因数分解算法,它的实现基于一个神奇的算法:MillerRabinMillerRabin素数测试. 操作流程首先,我们先用MillerRabinMille ...
数学--数论--随机算法--Pollard Rho 大数分解算法（纯模板带输出）
ACM常用模板合集 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; ll pr; ll pmod(l ...
水仙花数素数质因数分解的C语言实现
最近,我翻了一下之前的C语言教材,看了三个有意思的小程序,包括:寻找"水仙花数".判断某数是否为素数.对一个数进行质因数分解.我想把这三个东西放到一个程序中,便写下了此文. 算法步 ...
Magic的Miller Rabin素数测定和Pollard's Rho质因子分解法
boshi大佬帮助了litble,使愚蠢的litble(可能?)学会了这种神奇的算法. orz boshi. 例题:poj1811 Miller Rabin 又称米勒挝饼, 一种神奇的快速判定一个数是 ...
素数判定算法 MILLER RABIN
入门级筛素数--试除法,复杂度O(n^2) bool rmprime( long long n ) {for(long long i = 2; i <= sqrt(n) ; i++) if(n% ...

素数判定质因数分解(数论)(Miller Rabin)(Pollard Rho)

素数判定:Miller Rabin算法

初阶:费马小定理

进阶:二次勘测定理

质因数分解:Pollard Rho算法

素数判定质因数分解(数论)(Miller Rabin)(Pollard Rho)相关推荐

最新文章

热门文章