NYOJ题目36-最长公共子序列（经典动态规划题）

最长公共子序列

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难度：3

描述

咱们就不拐弯抹角了，如题，需要你做的就是写一个程序，得出最长公共子序列。
tip：最长公共子序列也称作最长公共子串(不要求连续)，英文缩写为LCS（Longest Common Subsequence）。其定义是，一个序列 S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。

输入

第一行给出一个整数N(0<N<100)表示待测数据组数
接下来每组数据两行，分别为待测的两组字符串。每个字符串长度不大于1000.

输出

每组测试数据输出一个整数，表示最长公共子序列长度。每组结果占一行。

样例输入

2
asdf
adfsd
123abc
abc123abc

样例输出

3
6

使用动态规划，最主要的步骤是要分析出子问题及其重叠问题来。

对于此题，每一组字符串的长度对于寻找最长子序列的方法，并不会产生什么影响。例如长度为4、6与8、10的两组字符串，它们分别寻找最长子序列的方法并没有什么本质区别。正是因为这个原因，我们可以把N、M长度的字符串问题可以划分为N-1、M-1长度的问题，甚至还可以继续划分，这样实际上就产生了M+N个子问题（因为每次都是M或者N减去1而产生一个子问题），但是在这些子问题中，有很多重复地子问题，所以如果用递归解得话，会做很多重复地工作。更简单的方式是采用一个二维数组LCS[m][n]来记录所有可能的M、N取值组合下的最长公共子序列长度。

进一步分析，如何描述子问题？要分两种情况。

第一，如果str1[M]=str2[N]的情况下，最长公共子序列长度应该就是M-1、N-1长度的字符串组的最长公共子序列长度加上1。用公式表示就是LCS[M][N]=LCS[M-1][N-1]+1。

第二，如果str1[M]！=str2[N]的情况下，最长公共子序列长度应该在M-1、N 以及 M、N-1 这两个子问题之中最大公子序列长度的大者。用公式表示就是LCS[M][N]= MAX ( LCS[M-1][N] , LCS[M][N-1] )。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
using namespace std;int main()
{int N,i,j;scanf("%d",&N);while(N--){char str1[1001],str2[1001];scanf("%s%s",str1,str2);int len1=strlen(str1),len2=strlen(str2);int LCS[len1+1][len2+1];memset(LCS,0,sizeof(LCS));for(i=1;i<=len1;i++){for(j=1;j<=len2;j++){if(str1[i-1]==str2[j-1])LCS[i][j] = LCS[i-1][j-1] + 1;elseLCS[i][j] = LCS[i][j-1]>LCS[i-1][j] ? LCS[i][j-1] : LCS[i-1][j];}}printf("%d\n",LCS[len1][len2]);}
}

对最长公共子序列的改进：

上面的做法只能够求出最长公共子序列的个数，那么如何输出最长公共子序列是那几个呢？

这里我们在循环中，加入一个数组变量b[i][j]来标记三种不同的搜索方向，再调用函数对其生成。

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