【算法设计与分析】最长公共子序列问题动态规划算法超详细

最长公共子序列问题描述

注意：最长公共子序列不一定是连续序列。
例如："ASAFAGAHAJAK“与”AAAAAAA"的最长公共子序列为：AAAAAA

公共子序列的定义

证明最优子结构性质

分析其递归关系式

分别将第一个序列的元素个数设置为0到m，在每一个第一个序列的元素个数0到m的情况下，用内循环让第二个序列的元素从0到n遍历。

也就是说，先从0开始，求解很小的子问题，然后将这些子问题的解存储起来，当求解更大的问题时，会用到这些子问题的结果。这时，直接访问之前计算过的结果，避免了重复运算，这就是动态规划的巧妙之处，也正是需要证明其最优子结构性质的原因。

计算最优值

运行效果

c数组表示当前状态下，最长公共子序列的长度。
s数组表示当前状态下，最长公共子序列的长度是由哪种情况（1/2/3）计算出来的。

调试中的一个过程截取：

比如说，求解ABCDEFGHI和BDFI的最长公共子序列。

第一步(填0)：
当i=0,j=0,1,2,3,...时，因为X={}，所以最长子序列都是0

第二步(填0)：i=1,2,3,...,j=0时，因为Y={}，所以最长子序列是0
(用这样的原理，把第一行和第一列都设置为0)

第三步(进入正常循环)：
当i=1,j=1时，也就是说当X的长度为1，Y的长度为1的条件下，X={A}，Y={B}，属于情况三（X Y的最后一个元素不相等）
此时，比较X={}，Y={B} 与 X={A}，Y={}这两种情况下的公共子序列的值，将二者最大值（本例中为0）记录在数c数组中的c[i][j]位置。
同时，这种情况属于第三种，记为s[i][j]=3

…
根据第三步类推
…

某一个计算瞬间的详细分析如下

下图为调试过程中，截取的i=2,j=4时候的情况。当前被填写的数组元素：c[2][4]

此时，X={A,B}，Y={B,D,F,I}
比较X与Y的最后一个元素，分别为B，I。发现其属于情况三（X Y的最后一个元素不相等）

于是，比较X去掉最后一个元素的最长公共子序列 和 Y去掉最后一个元素的最长公共子序列，比较过程如下：
X去掉最后一个元素后，X={A}，Y={B,D,F,I}，查c数组得：其最长公共子序列为 c[i-1][j]=0
Y去掉最后一个元素后，X={A,B}，Y={B,D,F}，查c数组得：其最长公共子序列为 c[i][j-1]=1
比较结果为：取最大（后者）。 c[i][j] = c[i][j - 1] = 1，即另 c[2][4] = c[2][3] = 1

同时，因为是情况三，所以另 s[2][4] = 3。

从下图可以看到，c[2][4] = 1已经被填入生效。刚才的分析与实际运行结果相匹配。

…其余中间过程省略

完整填写c数组和s数组之后，最终执行结果↓

补充：填表的顺序图示

输出：BDFI

输出的过程

输出序列字母的过程是一个递归的过程。

见下图，根据s数组判断下一个箭头的指向。可以把s数组的3种情况分别对应到三个指向的箭头，放在数组表格中。然后从右下角的元素开始，一步一步沿着箭头向前走。

或者单步跟踪一下代码比较容易理解。

详细输出过程图示：

代码

注意：需要在宏定义中手动输入序列X，Y的长度，在main函数中输入序列X，Y的具体序列

#include<iostream>
#include<cstring>
#define XLEN 12
#define YLEN 7
using namespace std;int c[XLEN + 1][YLEN + 1];//Xi Yj的最长公共子序列的长度 多出1行用来存放长度为0的情况
int s[XLEN + 1][YLEN + 1];//c[i][j]的值是由哪一个子问题的解得到的void lcsLength(string x, string y)
{for (int i = 0; i <= XLEN; i++) c[i][0] = 0;for (int i = 0; i <= YLEN; i++) c[0][i] = 0;for (int i = 1; i <= XLEN; i++)     //xi的长度{for (int j = 1; j <= YLEN; j++)  //yj的长度{if (x[i - 1] == y[j - 1]) //x y序列 最后一个元素相等{c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;s[i][j] = 1;}else                     //x y序列 最后一个元素不相等{if (c[i - 1][j] >= c[i][j - 1])   //x去掉现有序列最后一个元素更大{c[i][j] = c[i - 1][j];s[i][j] = 2;}else                         //y去掉现有序列最后一个元素更大{c[i][j] = c[i][j - 1];s[i][j] = 3;}}}}
}
void lcs(int i, int j, string x)
{if (i == 0 || j == 0)return;if (s[i][j] == 1) //x[i] == y[j]{lcs(i - 1, j - 1, x);cout << x[i - 1];}else if (s[i][j] == 2)//c[i - 1][j] >= c[i][j - 1]{lcs(i - 1, j, x);}else lcs(i, j - 1, x);//c[i - 1][j] < c[i][j - 1]
}int main()
{string x = "ASAFAGAHAJAK";string y = "ASAAAAA";lcsLength(x, y);lcs(XLEN, YLEN, x);cout << endl;system("pause");
}