单位根反演[loj6485]LJJ 学二项式定理

前言

之前写反演的博客对于单位根反演只提了FFT
这里补一下一个应用

单位根反演

fi=∑j=0n−1ωni∗jgj⇔gi=∑j=0n−1ωn−i∗jnfjf_i=\sum_{j=0}^{n-1}\omega_n^{i*j}g_j\Leftrightarrow g_i=\sum_{j=0}^{n-1}\frac{\omega_n^{-i*j}}nf_jfi=j=0∑n−1ωni∗jgj⇔gi=j=0∑n−1nωn−i∗jfj
这是FFT里的
证明很方便，见我的博客对于容斥原理&反演的思考和总结
事实上，我们思考上式的本质
我们发现就是
[n∣x]=1n∑i=0n−1(ωnx)i[n|x]=\frac1n\sum_{i=0}^{n-1}(\omega_n^x)^i[n∣x]=n1i=0∑n−1(ωnx)i
FFT中的形式把xxx取值a−ba-ba−b，又保证∣a−b∣<n|a-b|<n∣a−b∣<n那么n∣xn|xn∣x只有在a=ba=ba=b的时候满足，即δa,b\delta_{a,b}δa,b
所以根据这个我们可以得到更多的应用，常见形式如下
对一个多项式
f(x)=∑i=0n−1aixif(x)=\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^if(x)=i=0∑n−1aixi
求所有次数为kkk的倍数的系数之和
Ans=∑i=0n−1[k∣i]ai\begin{aligned} Ans&=\sum_{i=0}^{n-1}[k|i]a_i\\ \end{aligned}Ans=i=0∑n−1[k∣i]ai

题解

题目要求的是
[∑i=0n((ni)⋅si⋅aimod4)]mod  998244353\left[\sum_{i=0}^n\left(\binom ni·s^i·a_{i\ mod\ 4}\right)\right]\mod998244353[i=0∑n((in)⋅si⋅ai mod 4)]mod998244353
我们对imod  4i\mod4imod4的值进行分别讨论，我们现在要求的就是各组的系数和
我们现在要求
[∑i=0n((ni)⋅si[4∣i])]mod  998244353\left[\sum_{i=0}^n\left(\binom ni·s^i[4|i]\right)\right]\mod998244353[i=0∑n((in)⋅si[4∣i])]mod998244353
∑i=0n((ni)⋅si[4∣i])=∑i=0n((ni)⋅si14∑j=04−1(ω4i)j)=14∑j=03∑i=0n((ni)⋅si(ω4j)i)=14∑j=03(sω4j+1)n\begin{aligned} \sum_{i=0}^n\left(\binom ni·s^i[4|i]\right)&=\sum_{i=0}^n\left(\binom ni·s^i\frac14\sum_{j=0}^{4-1}(\omega_4^i)^j\right)\\ &=\frac14\sum_{j=0}^{3}\sum_{i=0}^n\left(\binom ni·s^i(\omega_4^j)^i\right)\\ &=\frac14\sum_{j=0}^{3}\left(s\omega_4^j+1\right)^n\\ \end{aligned}i=0∑n((in)⋅si[4∣i])=i=0∑n((in)⋅si41j=0∑4−1(ω4i)j)=41j=0∑3i=0∑n((in)⋅si(ω4j)i)=41j=0∑3(sω4j+1)n
那么单个的系数就求得了，那么我们发现除了[4∣i][4|i][4∣i]的情况，还有[4∣i−1][4|i-1][4∣i−1],[4∣i−2][4|i-2][4∣i−2],[4∣i−3][4|i-3][4∣i−3]的情况，那么相当于是我们将关于x=ω4jx=\omega_4^jx=ω4j的函数的值分别乘以x−1，x−2，x−3x^{-1}，x^{-2}，x^{-3}x−1，x−2，x−3，然后（具体做法是，对于x=ω4ix=\omega_4^ix=ω4i，x−1=ω4−ix^{-1}=\omega_4^{-i}x−1=ω4−i），其它的一样做即可

代码

#include<bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
#define rg register
template <typename T> inline void read(T&x){char cu=getchar();x=0;bool fla=0;while(!isdigit(cu)){if(cu=='-')fla=1;cu=getchar();}while(isdigit(cu))x=x*10+cu-'0',cu=getchar();if(fla)x=-x;}
template <typename T> inline void printe(const T x){if(x>=10)printe(x/10);putchar(x%10+'0');}
template <typename T> inline void print(const T x){if(x<0)putchar('-'),printe(-x);else printe(x);}
const ll mod=998244353;
ll T,n,s,a0,a1,a2,a3,w0,w1,w2,w3,inv;
inline ll pow(ll x,ll y)
{ll res=1;for(;y;y>>=1,x=x*x%mod)if(y&1)res=res*x%mod;return res;
}
int main()
{read(T);w0=1,w1=pow(3,(mod-1)/4),w2=w1*w1%mod,w3=w1*w2%mod;inv=pow(4,mod-2);while(T--){read(n),read(s),read(a0),read(a1),read(a2),read(a3);const ll k0=pow(s*w0%mod+1,n),k1=pow(s*w1%mod+1,n),k2=pow(s*w2%mod+1,n),k3=pow(s*w3%mod+1,n);ll ans=0;ans=(ans+(k0*w0+k1*w0+k2*w0+k3*w0)%mod*a0)%mod;ans=(ans+(k0*w0+k1*w3+k2*w2+k3*w1)%mod*a1)%mod;ans=(ans+(k0*w0+k1*w2+k2*w0+k3*w2)%mod*a2)%mod;ans=(ans+(k0*w0+k1*w1+k2*w2+k3*w3)%mod*a3)%mod;print(ans*inv%mod),putchar('\n');}return 0;
}

总结

单位根反演需要推式子，但写起来比较清真

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