单位根反演

[k∣n]=1k∑i=0k−1ωkin[k\mid n]=\frac 1k\sum_{i=0}^{k-1}\omega_k^{in}[k∣n]=k1∑i=0k−1ωkin

kkk 次单位根是 kkk 次幂为 111 的复数解 wkw_kwk。利用单位圆和单位根的关系很容易证明。

k∣nk\mid nk∣n

显然 ωkin\omega_k^{in}ωkin，相当于转了 ink\frac{in}kkin 圈单位圆，结果仍是 111。

1k∑i=0k−11=1=k∣n\frac 1k\sum_{i=0}^{k-1}1=1=k\mid nk1∑i=0k−11=1=k∣n
k∤nk\nmid nk∤n

使用等比数列求和。

[k∣n]=1k∑i=0k−1ωkin=1k⋅ωknk−1ωkn−1[k\mid n]=\frac 1k\sum_{i=0}^{k-1}\omega_k^{in}=\frac 1k·\frac{\omega_k^{nk}-1}{\omega_k^n-1}[k∣n]=k1∑i=0k−1ωkin=k1⋅ωkn−1ωknk−1

∵ωknk−1=ωk0−1=0∧ωkn−1≠0\because\omega_k^{nk}-1=\omega_k^0-1=0\wedge \omega_k^n-1\neq 0∵ωknk−1=ωk0−1=0∧ωkn−1=0

∴1k∑i=0k−1ωkin=0=[k∣n]=k∤n\therefore \frac 1k\sum_{i=0}^{k-1}\omega_k^{in}=0=[k\mid n]=k\nmid n∴k1∑i=0k−1ωkin=0=[k∣n]=k∤n

LOJ6485. LJJ学二项式定理

TTT 组数据，给定 n,s,a0,a1,a2,a3n,s,a_0,a_1,a_2,a_3n,s,a0,a1,a2,a3，求 ∑i=0nC(n,i)⋅si⋅ai(mod4)\sum_{i=0}^nC(n,i)·s^i·a_{i\pmod 4}∑i=0nC(n,i)⋅si⋅ai(mod4)。结果对 998244353998244353998244353 取模。

趁热打铁，我们很容易想到将 iii 按模 444 的余数进行分类。对于每一类我们只想统计该统计的数。
∑i=0n(ni)si∑j=03aj[imod 4=j]=∑i=0n(ni)si∑j=03aj[4∣(i−j)]\sum_{i=0}^n\binom nis^i\sum_{j=0}^3a_j[i\ \text{mod}\ 4=j]=\sum_{i=0}^n\binom nis^i\sum_{j=0}^3a_j[4\mid(i-j)] i=0∑n(in)sij=0∑3aj[i mod 4=j]=i=0∑n(in)sij=0∑3aj[4∣(i−j)]
直接单位根反演：[4∣(i−j)]=14∑k=03ω4k(i−j)[4|(i-j)]=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^3\omega_{4}^{k(i-j)}[4∣(i−j)]=41∑k=03ω4k(i−j)
⇒∑i=0n(ni)si⋅14∑j=03aj⋅∑k=03ω4kiω4−kj=14∑j=03aj∑k=03ω4−kj∑i=0n(ni)siω4ki\Rightarrow \sum_{i=0}^n\binom nis^i·\frac 14\sum_{j=0}^3a_j·\sum_{k=0}^3\omega_4^{ki}\omega_4^{-kj}=\frac 14\sum_{j=0}^3a_j\sum_{k=0}^3\omega_4^{-kj}\sum_{i=0}^n\binom nis^i\omega_4^{ki} ⇒i=0∑n(in)si⋅41j=0∑3aj⋅k=0∑3ω4kiω4−kj=41j=0∑3ajk=0∑3ω4−kji=0∑n(in)siω4ki
二项式定理：∑i=0n(ni)siω4ki=∑i=0n(ni)(sω4k)i=(sω4k+1)n\sum_{i=0}^n\binom nis^i\omega_4^{ki}=\sum_{i=0}^n\binom ni(s\omega_4^k)^i=(s\omega_4^k+1)^n∑i=0n(in)siω4ki=∑i=0n(in)(sω4k)i=(sω4k+1)n
⇒14∑j=03aj∑k=03ω4−jk(sω4k+1)n\Rightarrow \frac 14\sum_{j=0}^3a_j\sum_{k=0}^3\omega_4^{-jk}(s\omega_4^k+1)^n ⇒41j=0∑3ajk=0∑3ω4−jk(sω4k+1)n
模 998244353998244353998244353 意义下是有四次单位根的，且原根为 333，有 ω41=g(mod−1)/4\omega_4^1=g^{(mod-1)/4}ω41=g(mod−1)/4。

直接算即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define mod 998244353
int T, n, s;
int a[10], w[10] = { 1, 911660635, 998244352, 86583718 };int qkpow( int x, int y ) {int ans = 1;while( y ) {if( y & 1 ) ans = ans * x % mod;x = x * x % mod;y >>= 1;}return ans;
}signed main() {scanf( "%lld", &T );while( T -- ) {scanf( "%lld %lld", &n, &s );for( int i = 0;i < 4;i ++ ) scanf( "%lld", &a[i] );int ans = 0;for( int i = 0;i < 4;i ++ ) {int sum = 0;for( int j = 0;j < 4;j ++ )( sum += w[(4 - i) * j % 4] * qkpow( s * w[j] % mod + 1, n ) ) %= mod;( ans += sum * a[i] ) %= mod;}printf( "%lld\n", ans * qkpow( 4, mod - 2 ) % mod );}return 0;
}
/*
6
1 2 3 4 5 6
2 3 4 5 6 1
3 4 5 6 1 2
4 5 6 1 2 3
5 6 1 2 3 4
6 1 2 3 4 5
*/

[学习笔记] 单位根反演相关推荐

【学习笔记】斯特林反演+单位根反演
upd:抄了一下 ppt \text{ppt} ppt. 1.1 1.1 1.1 斯特林反演有两个恒等式: [ i = j ] = ∑ ( − 1 ) i − k [ i k ] { k j } [ ...
莫比乌斯反演专题学习笔记
莫比乌斯反演专题学习笔记本文记录一些和莫反有关的内容的笔记可能存在诸多谬误,阅读时请谨慎分析若发现文中有谬误,如您愿意,恳请您向我指出,不胜感激! 为什么要学莫比乌斯反演? 解决一类与狄利克雷卷 ...
【学习笔记】超简单的快速数论变换（NTT）（FFT的优化）（含全套证明）
整理的算法模板合集: ACM模板目录一.前置知识二.快速数论变换(NTT) 三.NTT证明(和FFT的关系) 四.NTT模板数组形式的实现 vector形式的实现点我看多项式全家桶(●^◡_ ...
【学习笔记】超简单的快速傅里叶变换（FFT）（含全套证明）
整理的算法模板合集: ACM模板目录一.概念概述二.前置知识 1. 多项式 2. 复数 4. 欧拉公式证明 3. 复数的单位根 / 单位向量三.FFT 算法概述四.离散傅里叶变换(DFT) ...
快速傅里叶变换学习笔记(更新中)
快速傅里叶变换(FFT)学习笔记简介快速傅里叶变换($ \rm Fast Fourier Transformation $), 简称 $\rm FFT$, 用于在 $ \Theta(n\log ...
狄利克雷卷积_狄利克雷卷积学习笔记
蒟蒻我在莫比乌斯反演学习笔记里留下了几个坑,于是开始漫长的填坑路. 狄利克雷卷积学习笔记前置知识1:数论函数什么是数论函数呢?数论函数指定义域为正整数,陪域为复数的函数. 以下知识中涉及到的函数大 ...
数学/数论专题-学习笔记：狄利克雷卷积
数学/数论专题-学习笔记:狄利克雷卷积 1. 前言 2. 一些基础函数 3. 积性函数 4. 狄利克雷卷积 5. 总结 6. 参考资料 1. 前言狄利克雷卷积,是学习与继续探究 μ\muμ 函数和 ...
马科维茨模型 matlab,马科维茨投资组合理论（均方模型）学习笔记——基于Matlab（四）...
这是本阶段最后一次学习马科维茨投资组合理论的软件实现. 一.创建投资组合 %模拟N种资产的收益率mu=[10 20 30 50 60 90 120];sigma=[0.06 0.01 0.2 0.8 ...
[学习笔记]多项式与有标号简单图计数
学了一天的有标号无向图计数真的自闭了- 本篇文章是基于2019WC汪乐平大佬的讲课课件<生成函数,多项式算法与图的计数>编写的. 注意:文中所有生成函数都规定为指数型生成函数(EGF),请 ...

[学习笔记] 单位根反演

单位根反演

LOJ6485. LJJ学二项式定理

[学习笔记] 单位根反演相关推荐

最新文章

热门文章