Loj 6485. LJJ 学二项式定理

题目描述

LJJ 学完了二项式定理，发现这太简单了，于是他将二项式定理等号右边的式子修改了一下，代入了一定的值，并算出了答案。

但人口算毕竟会失误，他请来了你，让你求出这个答案来验证一下。

一共有 $ T $ 组数据，每组数据如下：

输入以下变量的值：$ n, s , a_0 , a_1 , a_2 , a_3$，求以下式子的值：
\[\Large \left[ \sum_{i=0}^n \left( {n\choose i} \cdot s^{i} \cdot a_{i\bmod 4} \right) \right] \bmod 998244353 \]

其中 $ n\choose i $ 表示 $ \frac{n!}{i!(n-i)!} $。

输入格式

第一行一个整数 \(T\)，之后 \(T\) 行，一行六个整数 \(n, s, a_0, a_1, a_2, a_3\)。

输出格式

一共 \(T\) 行，每行一个整数表示答案。

样例

样例输入

6
1 2 3 4 5 6
2 3 4 5 6 1
3 4 5 6 1 2
4 5 6 1 2 3
5 6 1 2 3 4
6 1 2 3 4 5

样例输出

11
88
253
5576
31813
232

数据范围与提示

对于 $ 50% $ 的数据，$ T \times n \leq 10^5 $；

对于 $ 100% $ 的数据，$ 1 \leq T \leq 10^5, 1 \leq n \leq 10 ^ {18}, 1 \leq s, a_0, a_1, a_2, a_3 \leq 10^{8} $。

\(\\\)

前置知识：单位根反演

我们考虑对每个\(d=0...3\)计算
\[ Ans_d=\left[ \sum_{i=0}^n[i\%4==d] \left( {n\choose i} \cdot s^{i} \cdot a_d \right) \right] \bmod 998244353 \]
答案就是
\[ Ans=\sum_{d=0}^3Ans_d \]

我们交换一下求和顺序：
\[ \begin{align} Ans_d=a_d\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}s^i[i\%4==d]\\ =a_d\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}s^i[4|(i-d)]\\ \end{align} \]
直接套单位根反演的套路：
\[ [k|n]=\sum_{i=0}^{k-1}(\omega_k^n)^i\\ \Longrightarrow [4|(i-d)]=\frac{1}{4}\sum_{j=0}^3 (\omega_4^{i-d})^j \]
再带回去：
\[ \begin{align} Ans_d&=a_d\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}s^i[4|(i-d)]\\ &=a_d\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}s^i\frac{1}{4}\sum_{j=0}^3(\omega _4^{i-d})^j\\ \end{align} \]
这里\(i\)直接从\(0\)开始枚举是没有问题的，因为即使\(i-d\)为负一样满足等比数列求和。

在根据套路交换求和符号：
\[ \begin{align} Ans_d&=a_d\frac{1}{4}\sum_{j=0}^3\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}s^i(\omega _4^{ij-dj})\\ &=a_d\frac{1}{4}\sum_{j=0}^3\frac{1}{\omega_4 ^{dj}} \sum_{i=0}^n\binom{n}{i}s^i(\omega _4^{j})^i\\ \end{align} \]
我们设:
\[ f_n(x)=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}s^ix^i\\ =(sx+1)^n \]
则:
\[ \begin{align} Ans_d&=a_d\frac{1}{4}\sum_{j=0}^3\frac{1}{\omega_4 ^{dj}} \sum_{i=0}^n \binom{n}{i}s^i(\omega _4^{j})^i\\ &=a_d\frac{1}{4}\sum_{j=0}^3\frac{1}{\omega_4 ^{dj}} f(\omega_4^j)\\ &=a_d\frac{1}{4}\sum_{j=0}^3\frac{1}{\omega_4 ^{dj}} (s\cdot\omega_4^j+1)^n\\ \end{align} \]
模质数\(p\)意义下\(\omega_4^1\)可以取\(g^{\frac{p-1}{4}}\)其中\(g\)是原根。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long longusing namespace std;
inline ll Get() {ll x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}const ll mod=998244353,g=3;
ll ksm(ll t,ll x) {ll ans=1;for(;x;x>>=1,t=t*t%mod)if(x&1) ans=ans*t%mod;return ans;
}ll n,s,a[4];
ll w;
const ll inv4=ksm(4,mod-2);
int main() {w=ksm(g,(mod-1)>>2);int T=Get();while(T--) {n=Get(),s=Get();for(int i=0;i<4;i++) a[i]=Get();ll ans=0;for(int d=0;d<4;d++) {ll now=0;for(int j=0;j<4;j++) {(now+=ksm(ksm(w,d*j),mod-2)*ksm((s*ksm(w,j)+1)%mod,n))%=mod;}(ans+=now*a[d])%=mod;}cout<<ans*inv4%mod<<"\n";}return 0;
}