Loj#6485. LJJ 学二项式定理（单位根反演）

题目描述

题目描述
题意：求下面式子的答案QAQ。
[∑((ni)⋅si⋅aimod4)]mod998244353[\sum(\tbinom{n}{i}\cdot s^i \cdot a_{i\;\;mod\;\;4}) ]\;mod\;\;998244353 [∑((in)⋅si⋅aimod4)]mod998244353

Solution

The first 单位根反演题 of me。
题目中的式子很有趣，它的形式为∑aimod4\sum a_{i \;\;mod \;\;4}∑aimod4
这就是一个典型的单位根反演的形式，因此考虑单位根反演的公式
1n∑i=0n−1ωik=[n∣k]\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1} \omega^{ik}=[n|k] n1i=0∑n−1ωik=[n∣k]
我们枚举k=i%4k=i\%4k=i%4，原式变为：
∑k=03ak∑i=0n[4∣i+4−k]si⋅(ni)\sum_{k=0}^3 a_k \sum_{i=0}^n [4|i+4-k]s^i \cdot \tbinom{n}{i} k=0∑3aki=0∑n[4∣i+4−k]si⋅(in)
单位根反演，替换[4∣i+4−k][4|i+4-k][4∣i+4−k]进一步化简得到
∑k=03ak∑i=0n∑j=03ω4j(i+4−k)si⋅(ni)\sum_{k=0}^3 a_k \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^3 \omega_4^{j(i+4-k)}s^i \cdot \tbinom{n}{i} k=0∑3aki=0∑nj=0∑3ω4j(i+4−k)si⋅(in)
整理式子：
∑k=03ak∑j=03ω4j(4−k)(∑i=0nω4ijsi⋅(ni))\sum_{k=0}^3 a_k \sum_{j=0}^3 \omega_4^{j(4-k)} (\sum_{i=0}^n\omega_4^{ij}s^i \cdot \tbinom{n}{i}) k=0∑3akj=0∑3ω4j(4−k)(i=0∑nω4ijsi⋅(in))
二项式定理一波走：
∑k=03ak∑j=03ω4j(4−k)(sωj+1)n\sum_{k=0}^3 a_k \sum_{j=0}^3 \omega_4^{j(4-k)}(s\omega^j+1)^n k=0∑3akj=0∑3ω4j(4−k)(sωj+1)n
所以我们只需要预处理之后计算即可。
单次复杂度O(c+lgn)O(c+lgn)O(c+lgn)，ccc为常数。
注意longlonglong\;\;longlonglong，下面的代码defineintlldefine\;\;int\;\;lldefineintll了。

#include <vector>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <numeric>
#include <utility>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <string>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <cassert>
#include <string.h>
//#include <unordered_set>
//#include <unordered_map>
//#include <bits/stdc++.h>#define MP(A,B) make_pair(A,B)
#define PB(A) push_back(A)
#define SIZE(A) ((int)A.size())
#define LEN(A) ((int)A.length())
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
#define fi first
#define se second
#define int llusing namespace std;template<typename T>inline bool upmin(T &x,T y) { return y<x?x=y,1:0; }
template<typename T>inline bool upmax(T &x,T y) { return x<y?x=y,1:0; }typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double lod;
typedef pair<int,int> PR;
typedef vector<int> VI;const lod eps=1e-11;
const lod pi=acos(-1);
const int oo=1<<30;
const ll loo=1ll<<62;
const int mods=998244353;
const int MAXN=600005;
const int INF=0x3f3f3f3f;//1061109567
/*--------------------------------------------------------------------*/
inline int read()
{int f=1,x=0; char c=getchar();while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }return x*f;
}
inline int quick_pow(int x,int y)
{if (y==0) return 1;int q=quick_pow(x,y>>1);return (y&1)?1ll*q*q%mods*x%mods:1ll*q*q%mods;
}
int a[4],w[4],P[4];
signed main() {int Case=read();int wn=quick_pow(3,(mods-1)/4);int inv4=quick_pow(4,mods-2);w[0]=1; for (int i=1;i<4;i++) w[i]=1ll*w[i-1]*wn%mods;while (Case--) {ll n=read(),s=read(),ans=0;for (int i=0;i<4;i++) a[i]=read();for (int i=0;i<4;i++) P[i]=quick_pow((1ll*w[i]*s+1)%mods,n);for (int i=0;i<4;i++) {int p=1ll*a[i]*inv4%mods;for (int j=0;j<4;j++) ans=(ans+1ll*p*w[j*(4-i)%4]%mods*P[j]%mods)%mods;}printf("%d\n",ans);}return 0;
}

Loj#6485. LJJ 学二项式定理相关推荐

Loj 6485. LJJ 学二项式定理
Loj 6485. LJJ 学二项式定理题目描述 LJJ 学完了二项式定理,发现这太简单了,于是他将二项式定理等号右边的式子修改了一下,代入了一定的值,并算出了答案. 但人口算毕竟会失误,他请来了你 ...
[LOJ 6485]LJJ 学二项式定理
[LOJ 6485] LJJ 学二项式定理题意给定 \(n,s,a_0,a_1,a_2,a_3\), 求: \[ \Large \left[ \sum_{i=0}^n \left( {n\choo ...
LOJ 6485 LJJ学多项式
前言蒟蒻代码惨遭卡常,根本跑不过前置芝士--单位根反演单位根有这样的性质: \[ \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\omega_{n}^{ki}=\left[n|k\rig ...
【LOJ 6485】LJJ 学二项式定理（单位根反演）（模板）
LJJ 学二项式定理题目链接:LOJ 6485 题目大意求一个式子: ∑ i = 0 n ( ( n i ) s i a i m o d 4 ) \sum\limits_{i=0}^n(\bino ...
LJJ 学二项式定理
题目: https://loj.ac/problem/6485 给定n,s,a0,a1,a2,a3n,s,a_0,a_1,a_2,a_3n,s,a0,a1,a2,a3,求 [∑i=0n(ni) ...
单位根反演[loj6485]LJJ 学二项式定理
前言之前写反演的博客对于单位根反演只提了FFT 这里补一下一个应用单位根反演 fi=∑j=0n−1ωni∗jgj⇔gi=∑j=0n−1ωn−i∗jnfjf_i=\sum_{j=0}^{n-1}\o ...
GOOD BYE OI
大米饼正式退役了,OI给我带来很多东西我会的数学知识基本都在下面了博客园的评论区问题如果我看到了应该是会尽力回答的．．．这也是我作为一个OIer最后一次讲课的讲稿 20190731 多项式乘法 ...
对于容斥原理反演的思考和总结
前言我还是太菜了容斥之类的方法并不能熟练应用于是这次我就认真学习了一下容斥你可能会发现,容斥与反演很多时候都会同时出现那么,这两个东西分别是什么.究竟有什么关系呢? 容斥我们先从定义说起 ...
[学习笔记] 单位根反演
单位根反演 [k∣n]=1k∑i=0k−1ωkin[k\mid n]=\frac 1k\sum_{i=0}^{k-1}\omega_k^{in}[k∣n]=k1∑i=0k−1ωkin kkk 次 ...

Loj#6485. LJJ 学二项式定理

Loj#6485. LJJ 学二项式定理（单位根反演）

题目描述

Solution

Loj#6485. LJJ 学二项式定理相关推荐

最新文章

热门文章