【集训队作业2018】复读机【指数型生成函数】【单位根反演】【二项式定理】

传送门

单位根反演听着高级，其实没啥技术含量……

本文是篇几乎没有证明的佛系讲解

单位根反演的式子长这样：

1n∑i=0n−1ωnik=[k∣n]\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\omega_n^{ik}=[k|n]n1i=0∑n−1ωnik=[k∣n]

其实本质是IFFT

感觉懵的？

那直接记结论：对于一个多项式f(x)f(x)f(x),有

∑k∣i[xi]f(x)=1k∑i=0k−1f(ωix)\sum_{k|i}[x^i]f(x)=\frac{1}{k}\sum_{i=0}^{k-1}f(\omega^ix)k∣i∑[xi]f(x)=k1i=0∑k−1f(ωix)

请参考下面的题解以更好地理解这个式子

d=1d=1d=1的时候直接快速幂走人

d=2d=2d=2的时候

考虑生成函数带标号所以用EGF

得到一位群友的EGF为

f(x)=∑2∣i1i!xif(x)=\sum_{2|i}\frac{1}{i!}x^if(x)=2∣i∑i!1xi

也就是只有偶数项有值

可以构造出

f(x)=ex+e−x2f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}f(x)=2ex+e−x

kkk位群友就是fk(x)f^k(x)fk(x)

强行二项式定理拆开，可以得到

12k∑i=0k(ki)[xn]ex(2i−k)\frac{1}{2^k}\sum_{i=0}^k\binom{k}{i}[x^n]e^{x(2i-k)}2k1i=0∑k(ik)[xn]ex(2i−k)

对于[xn]ex(2i−k)[x^n]e^{x(2i-k)}[xn]ex(2i−k),可以考虑它的组合意义，相当于用2i−k2i-k2i−k种颜色涂nnn个格子，即(2i−k)n(2i-k)^n(2i−k)n,然后得到的是EGF，也就是除以了一个n!n!n!;最终算答案会乘上一个n!n!n!，刚好抵消。

当然很不严谨，因为有负数的情况。严谨证明可以用泰勒展开。

然后暴力枚举即可

对于d=3d=3d=3

f(x)=∑3∣i1i!xif(x)=\sum_{3|i}\frac{1}{i!}x^if(x)=3∣i∑i!1xi

仿照上面的栗子，考虑到1,−11,-11,−1是111的二次方根，那么现在应该用333的单位根

大胆猜想

f(x)=ex+eωx+eω2x3f(x)=\frac{e^x+e^{\omega x}+e^{\omega^2x}}{3}f(x)=3ex+eωx+eω2x

后面就没啥区别了

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#define MAXN 500005
using namespace std;
const int MOD=19491001;
inline int add(const int& x,const int& y){return x+y>=MOD? x+y-MOD:x+y;}
inline int dec(const int& x,const int& y){return x<y? x-y+MOD:x-y;}
typedef long long ll;
inline int qpow(int a,int p)
{int ans=1;while (p){if (p&1) ans=(ll)ans*a%MOD;a=(ll)a*a%MOD;p>>=1;}return ans;
}
#define inv(x) qpow(x,MOD-2)
const int w1=18827933,w2=663067;
int fac[MAXN],finv[MAXN];
inline void init(const int& N)
{fac[0]=1;for (int i=1;i<=N;i++) fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%MOD;finv[N]=inv(fac[N]);for (int i=N-1;i>=0;i--) finv[i]=(ll)finv[i+1]*(i+1)%MOD;
}
inline int C(const int& n,const int& m){return (ll)fac[n]*finv[m]%MOD*finv[n-m]%MOD;}
int main()
{int n,k,d;scanf("%d%d%d",&n,&k,&d);init(k);if (d==1) return printf("%d\n",qpow(k,n)),0;if (d==2){int ans=0;for (int i=0;i<=k;i++) ans=add(ans,(ll)C(k,i)*qpow(dec(2*i,k),n)%MOD);ans=(ll)ans*inv(qpow(2,k))%MOD;printf("%d\n",ans);return 0;}int ans=0;for (int i=0;i<=k;i++)for (int j=0;j<=k-i;j++)ans=add(ans,(ll)C(k,i)*C(k-i,j)%MOD*qpow(add(add(i,(ll)j*w1%MOD),(ll)(k-i-j)*w2%MOD),n)%MOD);ans=(ll)ans*inv(qpow(3,k))%MOD;printf("%d\n",ans);return 0;
}

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