台湾大学林轩田机器学习基石课程学习笔记14 -- Regularization

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上节课我们介绍了过拟合发生的原因：excessive power, stochastic/deterministic noise 和limited data。并介绍了解决overfitting的简单方法。本节课，我们将介绍解决overfitting的另一种非常重要的方法：Regularization规则化。

一、Regularized Hypothesis Set

先来看一个典型的overfitting的例子：

如图所示，在数据量不够大的情况下，如果我们使用一个高阶多项式（图中红色曲线所示），例如10阶，对目标函数（蓝色曲线）进行拟合。拟合曲线波动很大，虽然EinEinE_{in}很小，但是EoutEoutE_{out}很大，也就造成了过拟合现象。

那么如何对过拟合现象进行修正，使hypothesis更接近于target function呢？一种方法就是regularized fit。

这种方法得到的红色fit曲线，要比overfit的红色曲线平滑很多，更接近与目标函数，它的阶数要更低一些。那么问题就变成了我们要把高阶（10阶）的hypothesis sets转换为低阶（2阶）的hypothesis sets。通过下图我们发现，不同阶数的hypothesis存在如下包含关系：

我们发现10阶多项式hypothesis sets里包含了2阶多项式hypothesis sets的所有项，那么在H10H10H_{10}中加入一些限定条件，使它近似为H2H2H_2即可。这种函数近似曾被称之为不适定问题（ill-posed problem）。

如何从10阶转换为2阶呢？首先，H10H10H_{10}可表示为：

H10=w0+w1x+w2x2+w3x3+⋯+w10x10H10=w0+w1x+w2x2+w3x3+⋯+w10x10

H_{10}=w_0+w_1x+w_2x^2+w_3x^3+\cdots+w_{10}x^{10}

而H2H2H_2可表示为：

H2=w0+w1x+w2x2H2=w0+w1x+w2x2

H_2=w_0+w_1x+w_2x^2

所以，如果限定条件是w3=w4=⋯=w10=0w3=w4=⋯=w10=0w_3=w_4=\cdots=w_{10}=0，那么就有H2=H10H2=H10H_2=H_{10}。也就是说，对于高阶的hypothesis，为了防止过拟合，我们可以将其高阶部分的权重w限制为0，这样，就相当于从高阶的形式转换为低阶，fit波形更加平滑，不容易发生过拟合。

那有一个问题，令H10H10H_{10}高阶权重w为0，为什么不直接使用H2H2H_2呢？这样做的目的是拓展我们的视野，为即将讨论的问题做准备。刚刚我们讨论的限制是H10H10H_{10}高阶部分的权重w限制为0，这是比较苛刻的一种限制。下面，我们把这个限制条件变得更宽松一点，即令任意8个权重w为0，并不非要限定w3=w4=⋯=w10=0w3=w4=⋯=w10=0w_3=w_4=\cdots=w_{10}=0，这个Looser Constraint可以写成：

∑q=010(wq≠0)≤3∑q=010(wq≠0)≤3

\sum_{q=0}^{10}(w_q\neq0)\leq3

也就只是限定了w不为0的个数，并不限定必须是高阶的w。这种hypothesis记为H′2H2′H_2'，称为sparse hypothesis set，它与H2H2H_2和H10H10H_{10}的关系为：

H2⊂H′2⊂H10H2⊂H2′⊂H10

H_2\subset H_2'\subset H_{10}

Looser Constraint对应的hypothesis应该更好解一些，但事实是sparse hypothesis set H′2H2′H_2'被证明也是NP-hard，求解非常困难。所以，还要转换为另一种易于求解的限定条件。

那么，我们寻找一种更容易求解的宽松的限定条件Softer Constraint，即：

∑q=010w2q=||w||2≤C∑q=010wq2=||w||2≤C

\sum_{q=0}^{10}w_q^2=||w||^2\leq C

其中，C是常数，也就是说，所有的权重w的平方和的大小不超过C，我们把这种hypothesis sets记为H(C)H(C)H(C)。

H′2H2′H_2'与H(C)H(C)H(C)的关系是，它们之间有重叠，有交集的部分，但是没有完全包含的关系，也不一定相等。对应H(C)H(C)H(C)，C值越大，限定的范围越大，即越宽松：

H(0)⊂H(1.126)⊂⋯⊂H(1126)⊂⋯⊂H(∞)=H10H(0)⊂H(1.126)⊂⋯⊂H(1126)⊂⋯⊂H(∞)=H10

H(0)\subset H(1.126)\subset \cdots \subset H(1126)\subset \cdots \subset H(\infty)=H_{10}

当C无限大的时候，即限定条件非常宽松，相当于没有加上任何限制，就与H10H10H_{10}没有什么两样。H(C)H(C)H(C)称为regularized hypothesis set，这种形式的限定条件是可以进行求解的，我们把求解的满足限定条件的权重w记为wREGwREGw_{REG}。接下来就要探讨如何求解wREGwREGw_{REG}。

二、Weight Decay Regularization

现在，针对H(c)，即加上限定条件，我们的问题变成：

我们的目的是计算Ein(w)Ein(w)E_{in}(w)的最小值，限定条件是||w2||≤C||w2||≤C||w^2||\leq C。这个限定条件从几何角度上的意思是，权重w被限定在半径为C−−√C\sqrt C的圆内，而球外的w都不符合要求，即便它是靠近Ein(w)Ein(w)E_{in}(w)梯度为零的w。

下面用一张图来解释在限定条件下，最小化Ein(w)Ein(w)E_{in}(w)的过程：

如上图所示，假设在空间中的一点w，根据梯度下降算法，w会朝着−∇Ein−∇Ein-\nabla E_{in}的方向移动（图中蓝色箭头指示的方向），在没有限定条件的情况下，w最终会取得最小值wlinwlinw_{lin}，即“谷底”的位置。现在，加上限定条件，即w被限定在半径为C−−√C\sqrt C的圆内，w距离原点的距离不能超过圆的半径，球如图中红色圆圈所示wTw=CwTw=Cw^Tw=C。那么，这种情况下，w不能到达wlinwlinw_{lin}的位置，最大只能位于圆上，沿着圆的切线方向移动（图中绿色箭头指示的方向）。与绿色向量垂直的向量（图中红色箭头指示的方向）是圆切线的法向量，即w的方向，w不能靠近红色箭头方向移动。那么随着迭代优化过程，只要−∇Ein−∇Ein-\nabla E_{in}与w点切线方向不垂直，那么根据向量知识，−∇Ein−∇Ein-\nabla E_{in}一定在w点切线方向上有不为零的分量，即w点会继续移动。只有当−∇Ein−∇Ein-\nabla E_{in}与绿色切线垂直，即与红色法向量平行的时候，−∇Ein−∇Ein-\nabla E_{in}在切线方向上没有不为零的分量了，也就表示这时w达到了最优解的位置。

有了这个平行的概念，我们就得到了获得最优解需要满足的性质：

∇Ein(wREG)+2λNwREG=0∇Ein(wREG)+2λNwREG=0

\nabla E_{in}(w_{REG})+\frac{2\lambda}{N}w_{REG}=0

上面公式中的λλ\lambda称为Lagrange multiplier，是用来解有条件的最佳化问题常用的数学工具，2N2N\frac2N是方便后面公式推导。那么我们的目标就变成了求解满足上面公式的wREGwREGw_{REG}。

之前我们推导过，线性回归的EinEinE_{in}的表达式为：

Ein=1N∑n=1N(xTnw−yn)2Ein=1N∑n=1N(xnTw−yn)2

E_{in}=\frac1N\sum_{n=1}^N(x_n^Tw-y_n)^2

计算EinEinE_{in}梯度，并代入到平行条件中，得到：

2N(ZTZwREG−ZTy)+2λNwREG=02N(ZTZwREG−ZTy)+2λNwREG=0

\frac2N(Z^TZw_{REG}-Z^Ty)+\frac{2\lambda}Nw_{REG}=0

这是一个线性方程式，直接得到wREGwREGw_{REG}为：

wREG=(ZTZ+λI)−1ZTywREG=(ZTZ+λI)−1ZTy

w_{REG}=(Z^TZ+\lambda I)^{-1}Z^Ty

上式中包含了求逆矩阵的过程，因为ZTZZTZZ^TZ是半正定矩阵，如果λλ\lambda大于零，那么ZTZ+λIZTZ+λIZ^TZ+\lambda I一定是正定矩阵，即一定可逆。另外提一下，统计学上把这叫做ridge regression，可以看成是linear regression的进阶版。

如果对于更一般的情况，例如逻辑回归问题中，∇Ein∇Ein\nabla E_{in}不是线性的，那么将其代入平行条件中得到的就不是一个线性方程式，wREGwREGw_{REG}不易求解。下面我们从另一个角度来看一下平行等式：

∇Ein(wREG)+2λNwREG=0∇Ein(wREG)+2λNwREG=0

\nabla E_{in}(w_{REG})+\frac{2\lambda}{N}w_{REG}=0

已知∇Ein∇Ein\nabla E_{in}是EinEinE_{in}对wREGwREGw_{REG}的导数，而2λNwREG2λNwREG\frac{2\lambda}{N}w_{REG}也可以看成是λNw2REGλNwREG2\frac{\lambda}Nw_{REG}^2的导数。那么平行等式左边可以看成一个函数的导数，导数为零，即求该函数的最小值。也就是说，问题转换为最小化该函数：

Eaug(w)=Ein(w)+λNwTwEaug(w)=Ein(w)+λNwTw

E_{aug}(w)=E_{in}(w)+\frac{\lambda}Nw^Tw

该函数中第二项就是限定条件regularizer，也称为weight-decay regularization。我们把这个函数称为Augmented Error，即Eaug(w)Eaug(w)E_{aug}(w)。

如果λλ\lambda不为零，对应于加上了限定条件，若λλ\lambda等于零，则对应于没有任何限定条件，问题转换成之前的最小化Ein(w)Ein(w)E_{in}(w)。

下面给出一个曲线拟合的例子，λλ\lambda取不同的值时，得到的曲线也不相同：

从图中可以看出，当λ=0λ=0\lambda=0时，发生了过拟合；当λ=0.0001λ=0.0001\lambda=0.0001时，拟合的效果很好；当λ=0.01λ=0.01\lambda=0.01和λ=1λ=1\lambda=1时，发生了欠拟合。我们可以把λλ\lambda看成是一种penality，即对hypothesis复杂度的惩罚，λλ\lambda越大，w就越小，对应于C值越小，即这种惩罚越大，拟合曲线就会越平滑，高阶项就会削弱，容易发生欠拟合。λλ\lambda一般取比较小的值就能达到良好的拟合效果，过大过小都有问题，但究竟取什么值，要根据具体训练数据和模型进行分析与调试。

事实上，这种regularization不仅可以用在多项式的hypothesis中，还可以应用在logistic regression等其他hypothesis中，都可以达到防止过拟合的效果。

我们目前讨论的多项式是形如x,x2,x3,⋯,xnx,x2,x3,⋯,xnx,x^2,x^3,\cdots,x^n的形式，若x的范围限定在[-1,1]之间，那么可能导致xnxnx^n相对于低阶的值要小得多，则其对于的w非常大，相当于要给高阶项设置很大的惩罚。为了避免出现这种数据大小差别很大的情况，可以使用Legendre Polynomials代替x,x2,x3,⋯,xnx,x2,x3,⋯,xnx,x^2,x^3,\cdots,x^n这种形式，Legendre Polynomials各项之间是正交的，用它进行多项式拟合的效果更好。关于Legendre Polynomials的概念这里不详细介绍，有兴趣的童鞋可以看一下维基百科。

三、Regularization and VC Theory

下面我们研究一下Regularization与VC理论之间的关系。Augmented Error表达式如下：

Eaug(w)=Ein(w)+λNwTwEaug(w)=Ein(w)+λNwTw

E_{aug}(w)=E_{in}(w)+\frac{\lambda}Nw^Tw

VC Bound表示为：

Eout(w)≤Ein(w)+Ω(H)Eout(w)≤Ein(w)+Ω(H)

E_{out}(w)\leq E_{in}(w)+\Omega(H)

其中wTwwTww^Tw表示的是单个hypothesis的复杂度，记为Ω(w)Ω(w)\Omega(w)；而Ω(H)Ω(H)\Omega(H)表示整个hypothesis set的复杂度。根据Augmented Error和VC Bound的表达式，Ω(w)Ω(w)\Omega(w)包含于Ω(H)Ω(H)\Omega(H)之内，所以，Eaug(w)Eaug(w)E_{aug}(w)比EinEinE_{in}更接近于EoutEoutE_{out}，即更好地代表EoutEoutE_{out}，Eaug(w)Eaug(w)E_{aug}(w)与EoutEoutE_{out}之间的误差更小。

根据VC Dimension理论，整个hypothesis set的dVC=d˘+1dVC=d˘+1d_{VC}=\breve d+1，这是因为所有的w都考虑了，没有任何限制条件。而引入限定条件的dVC(H(C))=dEFF(H,A)dVC(H(C))=dEFF(H,A)d_{VC}(H(C))=d_{EFF}(H,A)，即有效的VC dimension。也就是说，dVC(H)dVC(H)d_{VC}(H)比较大，因为它代表了整个hypothesis set，但是dEFF(H,A)dEFF(H,A)d_{EFF}(H,A)比较小，因为由于regularized的影响，限定了w只取一小部分。其中A表示regularized算法。当λ>0λ>0\lambda>0时，有：

dEFF(H,A)≤dVCdEFF(H,A)≤dVC

d_{EFF}(H,A)\leq d_{VC}

这些与实际情况是相符的，比如对多项式拟合模型，当λ=0λ=0\lambda=0时，所有的w都给予考虑，相应的dVCdVCd_{VC}很大，容易发生过拟合。当λ>0λ>0\lambda>0且越来越大时，很多w将被舍弃，dEFF(H,A)dEFF(H,A)d_{EFF}(H,A)减小，拟合曲线越来越平滑，容易发生欠拟合。

四、General Regularizers

那么通用的Regularizers，即Ω(w)Ω(w)\Omega(w)，应该选择什么样的形式呢？一般地，我们会朝着目标函数的方向进行选取。有三种方式：

target-dependent
plausible
friendly

其实这三种方法跟之前error measure类似，其也有三种方法：

user-dependent
plausible
friendly

regularizer与error measure是机器学习模型设计中的重要步骤。

接下来，介绍两种Regularizer：L2和L1。L2 Regularizer一般比较通用，其形式如下：

Ω(w)=∑q=0Qw2q=||w||22Ω(w)=∑q=0Qwq2=||w||22

\Omega(w)=\sum_{q=0}^Qw_q^2=||w||_2^2

这种形式的regularizer计算的是w的平方和，是凸函数，比较平滑，易于微分，容易进行最优化计算。

L1 Regularizer的表达式如下：

Ω(w)=∑q=0Q|wq|=||w||1Ω(w)=∑q=0Q|wq|=||w||1

\Omega(w)=\sum_{q=0}^Q|w_q|=||w||_1

L1计算的不是w的平方和，而是绝对值和，即长度和，也是凸函数。已知wTw=CwTw=Cw^Tw=C围成的是圆形，而||w||1=C||w||1=C||w||_1=C围成的是正方形，那么在正方形的四个顶点处，是不可微分的（不像圆形，处处可微分）。根据之前介绍的平行等式推导过程，对应这种正方形，它的解大都位于四个顶点处（不太理解，欢迎补充赐教），因为正方形边界处的w绝对值都不为零，若−∇Ein−∇Ein-\nabla E_{in}不与其平行，那么w就会向顶点处移动，顶点处的许多w分量为零，所以，L1 Regularizer的解是稀疏的，称为sparsity。优点是计算速度快。

下面来看一下λλ\lambda如何取值，首先，若stochastic noise不同，那么一般情况下，λλ\lambda取值有如下特点：

从图中可以看出，stochastic noise越大，λλ\lambda越大。

另一种情况，不同的deterministic noise，λλ\lambda取值有如下特点：

从图中可以看出，deterministic noise越大，λλ\lambda越大。

以上两种noise的情况下，都是noise越大，相应的λλ\lambda也就越大。这也很好理解，如果在开车的情况下，路况也不好，即noise越多，那么就越会踩刹车，这里踩刹车指的就是regularization。但是大多数情况下，noise是不可知的，这种情况下如何选择λλ\lambda？这部分内容，我们下节课将会讨论。

五、总结

本节课主要介绍了Regularization。首先，原来的hypothesis set加上一些限制条件，就成了Regularized Hypothesis Set。加上限制条件之后，我们就可以把问题转化为EaugEaugE_{aug}最小化问题，即把w的平方加进去。这种过程，实际上回降低VC Dimension。最后，介绍regularization是通用的机器学习工具，设计方法通常包括target-dependent，plausible，friendly等等。下节课将介绍如何选取合适的λλ\lambda来建立最佳拟合模型。

注明：

文章中所有的图片均来自台湾大学林轩田《机器学习基石》课程

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