台湾大学林轩田机器学习基石课程学习笔记7 -- The VC Dimension

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前几节课着重介绍了机器能够学习的条件并做了详细的推导和解释。机器能够学习必须满足两个条件：

假设空间H的Size M是有限的，即当N足够大的时候，那么对于假设空间中任意一个假设g，Eout≈EinEout≈EinE_{out}\approx E_{in}。
利用算法A从假设空间H中，挑选一个g，使Ein(g)≈0Ein(g)≈0E_{in}(g)\approx0，则Eout≈0Eout≈0E_{out}\approx0。

这两个条件，正好对应着test和trian两个过程。train的目的是使损失期望Ein(g)≈0Ein(g)≈0E_{in}(g)\approx0；test的目的是使将算法用到新的样本时的损失期望也尽可能小，即Eout≈0Eout≈0E_{out}\approx0。

正因为如此，上次课引入了break point，并推导出只要break point存在，则M有上界，一定存在Eout≈EinEout≈EinE_{out}\approx E_{in}。

本次笔记主要介绍VC Dimension的概念。同时也是总结VC Dimension与Ein(g)≈0Ein(g)≈0E_{in}(g)\approx0，Eout≈0Eout≈0E_{out}\approx0，Model Complexity Penalty（下面会讲到）的关系。

一、Definition of VC Dimension

首先，我们知道如果一个假设空间H有break point k，那么它的成长函数是有界的，它的上界称为Bound function。根据数学归纳法，Bound function也是有界的，且上界为Nk−1Nk−1N^{k-1}。从下面的表格可以看出，N(k−1)N(k−1)N(k-1)比B(N,k)松弛很多。

则根据上一节课的推导，VC bound就可以转换为：

这样，不等式只与k和N相关了，一般情况下样本N足够大，所以我们只考虑k值。有如下结论：

若假设空间H有break point k，且N足够大，则根据VC bound理论，算法有良好的泛化能力
在假设空间中选择一个矩g，使Ein≈0Ein≈0E_{in}\approx0，则其在全集数据中的错误率会较低

下面介绍一个新的名词：VC Dimension。VC Dimension就是某假设集H能够shatter的最多inputs的个数，即最大完全正确的分类能力。（注意，只要存在一种分布的inputs能够正确分类也满足）。

shatter的英文意思是“粉碎”，也就是说对于inputs的所有情况都能列举出来。例如对N个输入，如果能够将2N2N2^N种情况都列出来，则称该N个输入能够被假设集H shatter。

根据之前break point的定义：假设集不能被shatter任何分布类型的inputs的最少个数。则VC Dimension等于break point的个数减一。

现在，我们回顾一下之前介绍的四种例子，它们对应的VC Dimension是多少：

用dvcdvcd_{vc}代替k，那么VC bound的问题也就转换为与dvcdvcd_{vc}和N相关了。同时，如果一个假设集H的dvcdvcd_{vc}确定了，则就能满足机器能够学习的第一个条件Eout≈EinEout≈EinE_{out}\approx E_{in}，与算法、样本数据分布和目标函数都没有关系。

二、VC Dimension of Perceptrons

回顾一下我们之前介绍的2D下的PLA算法，已知Perceptrons的k=4，即dvc=3dvc=3d_{vc}=3。根据VC Bound理论，当N足够大的时候，Eout(g)≈Ein(g)Eout(g)≈Ein(g)E_{out}(g)\approx E_{in}(g)。如果找到一个g，使Ein(g)≈0Ein(g)≈0E_{in}(g)\approx 0，那么就能证明PLA是可以学习的。

这是在2D情况下，那如果是多维的Perceptron，它对应的dvcdvcd_{vc}又等于多少呢？

已知在1D Perceptron，dvc=2dvc=2d_{vc}=2，在2D Perceptrons，dvc=3dvc=3d_{vc}=3，那么我们有如下假设：dvc=d+1dvc=d+1d_{vc}=d+1，其中d为维数。

要证明的话，只需分两步证明：

dvc≥d+1dvc≥d+1d_{vc}\geq d+1
dvc≤d+1dvc≤d+1d_{vc}\leq d+1

首先证明第一个不等式：dvc≥d+1dvc≥d+1d_{vc}\geq d+1。

在d维里，我们只要找到某一类的d+1个inputs可以被shatter的话，那么必然得到dvc≥d+1dvc≥d+1d_{vc}\geq d+1。所以，我们有意构造一个d维的矩阵XXX能够被shatter就行。X" role="presentation" style="position: relative;">XXX是d维的，有d+1个inputs，每个inputs加上第零个维度的常数项1，得到XXX的矩阵：

矩阵中，每一行代表一个inputs，每个inputs是d+1维的，共有d+1个inputs。这里构造的X" role="presentation" style="position: relative;">XXX很明显是可逆的。shatter的本质是假设空间H对XXX的所有情况的判断都是对的，即总能找到权重W，满足X∗W=y" role="presentation" style="position: relative;">X∗W=yX∗W=yX\ast W=y，W=X−1∗yW=X−1∗yW=X^{-1}\ast y。由于这里我们构造的矩阵XXX的逆矩阵存在，那么d维的所有inputs都能被shatter，也就证明了第一个不等式。

然后证明第二个不等式：dvc≤d+1" role="presentation" style="position: relative;">dvc≤d+1dvc≤d+1d_{vc}\leq d+1。

在d维里，如果对于任何的d+2个inputs，一定不能被shatter，则不等式成立。我们构造一个任意的矩阵XXX，其包含d+2个inputs，该矩阵有d+1列，d+2行。这d+2个向量的某一列一定可以被另外d+1个向量线性表示，例如对于向量Xd+2" role="presentation" style="position: relative;">Xd+2Xd+2X_{d+2}，可表示为：

Xd+2=a1∗X1+a2∗X2+⋯+ad+1∗Xd+1Xd+2=a1∗X1+a2∗X2+⋯+ad+1∗Xd+1

X_{d+2}=a_1\ast X_1+a_2\ast X_2+\cdots+a_{d+1}\ast X_{d+1}

其中，假设a1>0a1>0a_1>0，a2,⋯,ad+1<0a2,⋯,ad+1<0a_2,\cdots,a_{d+1}.

那么如果X1X1X_1是正类，X2,⋯,Xd+1X2,⋯,Xd+1X_2,\cdots,X_{d+1}均为负类，则存在WWW，得到如下表达式：
Xd+2∗W=" role="presentation" style="position: relative;">Xd+2∗W=Xd+2∗W=X_{d+2}\ast W=a1∗X1∗Wa1∗X1∗Wa_1\ast X_1\ast W+a2∗X2∗Wa2∗X2∗Wa_2\ast X_2\ast W+⋯⋯\cdots+ad+1∗Xd+1∗Wad+1∗Xd+1∗Wa_{d+1}\ast X_{d+1}\ast W>0>0>0

因为其中蓝色项大于0，代表正类；红色项小于0，代表负类。所有对于这种情况，Xd+2Xd+2X_d+2一定是正类，无法得到负类的情况。也就是说，d+2个inputs无法被shatter。证明完毕！

综上证明可得dvc=d+1dvc=d+1d_{vc}=d+1。

三、Physical Intuition VC Dimension

上节公式中WWW又名features，即自由度。自由度是可以任意调节的，如同上图中的旋钮一样，可以调节。VC Dimension代表了假设空间的分类能力，即反映了H的自由度，产生dichotomy的数量，也就等于features的个数，但也不是绝对的。

例如，对2D Perceptrons，线性分类，dvc=3" role="presentation" style="position: relative;">dvc=3dvc=3d_{vc}=3，则W={w0,w1,w2}W={w0,w1,w2}W=\{w_0,w_1,w_2\}，也就是说只要3个features就可以进行学习，自由度为3。

介绍到这，我们发现M与dvcdvcd_{vc}是成正比的，从而得到如下结论：

四、Interpreting VC Dimension

下面，我们将更深入地探讨VC Dimension的意义。首先，把VC Bound重新写到这里：

根据之前的泛化不等式，如果|Ein−Eout|>ϵ|Ein−Eout|>ϵ|E_{in}-E_{out}|>\epsilon，即出现bad坏的情况的概率最大不超过δδ\delta。那么反过来，对于good好的情况发生的概率最小为1−δ1−δ1-\delta，则对上述不等式进行重新推导：

ϵϵ\epsilon表现了假设空间H的泛化能力，ϵϵ\epsilon越小，泛化能力越大。

至此，已经推导出泛化误差EoutEoutE_{out}的边界，因为我们更关心其上界（EoutEoutE_{out}可能的最大值），即：

上述不等式的右边第二项称为模型复杂度，其模型复杂度与样本数量N、假设空间H(dvcdvcd_{vc})、ϵϵ\epsilon有关。EoutEoutE_{out}由EinEinE_{in}共同决定。下面绘出EoutEoutE_{out}、model complexity、EinEinE_{in}随dvcdvcd_{vc}变化的关系：

通过该图可以得出如下结论：

dvcdvcd_{vc}越大，EinEinE_{in}越小，ΩΩ\Omega越大（复杂）。
dvcdvcd_{vc}越小，EinEinE_{in}越大，ΩΩ\Omega越小（简单）。
随着dvcdvcd_{vc}增大，EoutEoutE_{out}会先减小再增大。

所以，为了得到最小的EoutEoutE_{out}，不能一味地增大dvcdvcd_{vc}以减小EinEinE_{in}，因为EinEinE_{in}太小的时候，模型复杂度会增加，造成EoutEoutE_{out}变大。也就是说，选择合适的dvcdvcd_{vc}，选择的features个数要合适。

下面介绍一个概念：样本复杂度（Sample Complexity）。如果选定dvcdvcd_{vc}，样本数据D选择多少合适呢？通过下面一个例子可以帮助我们理解：

通过计算得到N=29300，刚好满足δ=0.1δ=0.1\delta=0.1的条件。N大约是dvcdvcd_{vc}的10000倍。这个数值太大了，实际中往往不需要这么多的样本数量，大概只需要dvcdvcd_{vc}的10倍就够了。N的理论值之所以这么大是因为VC Bound 过于宽松了，我们得到的是一个比实际大得多的上界。

值得一提的是，VC Bound是比较宽松的，而如何收紧它却不是那么容易，这也是机器学习的一大难题。但是，令人欣慰的一点是，VC Bound基本上对所有模型的宽松程度是基本一致的，所以，不同模型之间还是可以横向比较。从而，VC Bound宽松对机器学习的可行性还是没有太大影响。

五、总结

本节课主要介绍了VC Dimension的概念就是最大的non-break point。然后，我们得到了Perceptrons在d维度下的VC Dimension是d+1。接着，我们在物理意义上，将dvcdvcd_{vc}与自由度联系起来。最终得出结论dvcdvcd_{vc}不能过大也不能过小。选取合适的值，才能让EoutEoutE_{out}足够小，使假设空间H具有良好的泛化能力。

注明：

文章中所有的图片均来自台湾大学林轩田《机器学习基石》课程

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