台湾大学林轩田机器学习基石课程学习笔记11 -- Linear Models for Classification

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上一节课，我们介绍了Logistic Regression问题，建立cross-entropy error，并提出使用梯度下降算法gradient descnt来获得最好的logistic hypothesis。本节课继续介绍使用线性模型来解决分类问题。

一、Linear Models for Binary Classification

之前介绍几种线性模型都有一个共同点，就是都有样本特征x的加权运算，我们引入一个线性得分函数s：

s=wTxs=wTx

s=w^Tx

三种线性模型，第一种是linear classification。线性分类模型的hypothesis为h(x)=sign(s)h(x)=sign(s)h(x)=sign(s),取值范围为{-1,+1}两个值，它的err是0/1的，所以对应的Ein(w)Ein(w)E_{in}(w)是离散的，并不好解，这是个NP-hard问题。第二种是linear regression。线性回归模型的hypothesis为h(x)=sh(x)=sh(x)=s，取值范围为整个实数空间，它的err是squared的，所以对应的Ein(w)Ein(w)E_{in}(w)是开口向上的二次曲线，其解是closed-form的，直接用线性最小二乘法求解即可。第三种是logistic regression。逻辑回归模型的hypothesis为h(x)=θ(s)h(x)=θ(s)h(x)=\theta(s)，取值范围为(-1,1)之间，它的err是cross-entropy的，所有对应的Ein(w)Ein(w)E_{in}(w)是平滑的凸函数，可以使用梯度下降算法求最小值。

从上图中，我们发现，linear regression和logistic regression的error function都有最小解。那么可不可以用这两种方法来求解linear classification问题呢？下面，我们来对这三种模型的error function进行分析，看看它们之间有什么联系。

对于linear classification，它的error function可以写成：

err_{0/1}(s,y)=|sign(s)\neq y|=|sign(ys)\neq 1|
对于linear regression，它的error function可以写成：

errSQR(s,y)=(s−y)2=(ys−1)2errSQR(s,y)=(s−y)2=(ys−1)2

err_{SQR}(s,y)=(s-y)^2=(ys-1)^2
对于logistic regression，它的error function可以写成：

errCE(s,y)=ln(1+exp(−ys))errCE(s,y)=ln(1+exp(−ys))

err_{CE}(s,y)=ln(1+exp(-ys))
上述三种模型的error function都引入了ys变量，那么ys的物理意义是什么？ys就是指分类的正确率得分，其值越大越好，得分越高。

下面，我们用图形化的方式来解释三种模型的error function到底有什么关系：

从上图中可以看出，ys是横坐标轴，err0/1err0/1err_{0/1}是呈阶梯状的，在ys>0时，err0/1err0/1err_{0/1}恒取最小值0。errSQRerrSQRerr_{SQR}呈抛物线形式，在ys=1时，取得最小值，且在ys=1左右很小区域内，err0/1err0/1err_{0/1}和errSQRerrSQRerr_{SQR}近似。errCEerrCEerr_{CE}是呈指数下降的单调函数，ys越大，其值越小。同样在ys=1左右很小区域内，err0/1err0/1err_{0/1}和errCEerrCEerr_{CE}近似。但是我们发现errCEerrCEerr_{CE}并不是始终在err0/1err0/1err_{0/1}之上，所以为了计算讨论方便，我们把errCEerrCEerr_{CE}做幅值上的调整，引入errSCE=log2(1+exp(−ys))=1ln2errCEerrSCE=log2(1+exp(−ys))=1ln2errCEerr_{SCE}=log_2(1+exp(-ys))=\frac1{ln2}err_{CE}，这样能保证errSCEerrSCEerr_{SCE}始终在err0/1err0/1err_{0/1}上面，如下图所示：

由上图可以看出：

err0/1(s,y)≤errSCE(s,y)=1ln2errCE(s,y)err0/1(s,y)≤errSCE(s,y)=1ln2errCE(s,y)

err_{0/1}(s,y)\leq err_{SCE}(s,y)=\frac1{ln2}err_{CE}(s,y)

E0/1in(w)≤ESCEin(w)=1ln2ECEin(w)Ein0/1(w)≤EinSCE(w)=1ln2EinCE(w)

E_{in}^{0/1}(w)\leq E_{in}^{SCE}(w)=\frac1{ln2}E_{in}^{CE}(w)

E0/1out(w)≤ESCEout(w)=1ln2ECEout(w)Eout0/1(w)≤EoutSCE(w)=1ln2EoutCE(w)

E_{out}^{0/1}(w)\leq E_{out}^{SCE}(w)=\frac1{ln2}E_{out}^{CE}(w)
那么由VC理论可以知道：
从0/1出发：

E0/1out(w)≤E0/1in(w)+Ω0/1≤1ln2ECEin(w)+Ω0/1Eout0/1(w)≤Ein0/1(w)+Ω0/1≤1ln2EinCE(w)+Ω0/1

E_{out}^{0/1}(w)\leq E_{in}^{0/1}(w)+\Omega^{0/1}\leq \frac1{ln2}E_{in}^{CE}(w)+\Omega^{0/1}
从CE出发：

E0/1out(w)≤1ln2ECEout(w)≤1ln2ECEin(w)+1ln2ΩCEEout0/1(w)≤1ln2EoutCE(w)≤1ln2EinCE(w)+1ln2ΩCE

E_{out}^{0/1}(w)\leq \frac1{ln2}E_{out}^{CE}(w)\leq \frac1{ln2}E_{in}^{CE}(w)+\frac1{ln2}\Omega^{CE}

通过上面的分析，我们看到err 0/1是被限定在一个上界中。这个上界是由logistic regression模型的error function决定的。而linear regression其实也是linear classification的一个upper bound，只是随着sy偏离1的位置越来越远，linear regression的error function偏差越来越大。综上所述，linear regression和logistic regression都可以用来解决linear classification的问题。

下图列举了PLA、linear regression、logistic regression模型用来解linear classification问题的优点和缺点。通常，我们使用linear regression来获得初始化的w0w0w_0，再用logistic regression模型进行最优化解。

二、Stochastic Gradient Descent

之前介绍的PLA算法和logistic regression算法，都是用到了迭代操作。PLA每次迭代只会更新一个点，它每次迭代的时间复杂度是O(1)；而logistic regression每次迭代要对所有N个点都进行计算，它的每时间复杂度是O(N)。为了提高logistic regression中gradient descent算法的速度，可以使用另一种算法：随机梯度下降算法(Stochastic Gradient Descent)。

随机梯度下降算法每次迭代只找到一个点，计算该点的梯度，作为我们下一步更新w的依据。这样就保证了每次迭代的计算量大大减小，我们可以把整体的梯度看成这个随机过程的一个期望值。

随机梯度下降可以看成是真实的梯度加上均值为零的随机噪声方向。单次迭代看，好像会对每一步找到正确梯度方向有影响，但是整体期望值上看，与真实梯度的方向没有差太多，同样能找到最小值位置。随机梯度下降的优点是减少计算量，提高运算速度，而且便于online学习；缺点是不够稳定，每次迭代并不能保证按照正确的方向前进，而且达到最小值需要迭代的次数比梯度下降算法一般要多。

对于logistic regression的SGD，它的表达式为：

wt+1←wt+ηθ(−ynwTtxn)(ynxn)wt+1←wt+ηθ(−ynwtTxn)(ynxn)

w_{t+1}\leftarrow w_t+\eta\theta(-y_nw_t^Tx_n)(y_nx_n)

我们发现，SGD与PLA的迭代公式有类似的地方，如下图所示：

我们把SGD logistic regression称之为’soft’ PLA，因为PLA只对分类错误的点进行修正，而SGD logistic regression每次迭代都会进行或多或少的修正。另外，当η=1η=1\eta=1，且wTtxnwtTxnw_t^Tx_n足够大的时候，PLA近似等于SGD。

除此之外，还有两点需要说明：1、SGD的终止迭代条件。没有统一的终止条件，一般让迭代次数足够多；2、学习速率ηη\eta。ηη\eta的取值是根据实际情况来定的，一般取值0.1就可以了。

三、Multiclass via Logistic Regression

之前我们一直讲的都是二分类问题，本节主要介绍多分类问题，通过linear classification来解决。假设平面上有四个类，分别是正方形、菱形、三角形和星形，如何进行分类模型的训练呢？

首先我们可以想到这样一个办法，就是先把正方形作为正类，其他三种形状都是负类，即把它当成一个二分类问题，通过linear classification模型进行训练，得出平面上某个图形是不是正方形，且只有{-1,+1}两种情况。然后再分别以菱形、三角形、星形为正类，进行二元分类。这样进行四次二分类之后，就完成了这个多分类问题。

但是，这样的二分类会带来一些问题，因为我们只用{-1，+1}两个值来标记，那么平面上某些可能某些区域都被上述四次二分类模型判断为负类，即不属于四类中的任何一类；也可能会出现某些区域同时被两个类甚至多个类同时判断为正类，比如某个区域又判定为正方形又判定为菱形。那么对于这种情况，我们就无法进行多类别的准确判断，所以对于多类别，简单的binary classification不能解决问题。

针对这种问题，我们可以使用另外一种方法来解决：soft软性分类，即不用{-1，+1}这种binary classification，而是使用logistic regression，计算某点属于某类的概率、可能性，去概率最大的值为那一类就好。

soft classification的处理过程和之前类似，同样是分别令某类为正，其他三类为负，不同的是得到的是概率值，而不是{-1，+1}。最后得到某点分别属于四类的概率，取最大概率对应的哪一个类别就好。效果如下图所示：

这种多分类的处理方式，我们称之为One-Versus-All(OVA) Decomposition。这种方法的优点是简单高效，可以使用logistic regression模型来解决；缺点是如果数据类别很多时，那么每次二分类问题中，正类和负类的数量差别就很大，数据不平衡unbalanced，这样会影响分类效果。但是，OVA还是非常常用的一种多分类算法。

四、Multiclass via Binary Classification

上一节，我们介绍了多分类算法OVA，但是这种方法存在一个问题，就是当类别k很多的时候，造成正负类数据unbalanced，会影响分类效果，表现不好。现在，我们介绍另一种方法来解决当k很大时，OVA带来的问题。

这种方法呢，每次只取两类进行binary classification，取值为{-1，+1}。假如k=4，那么总共需要进行C24=6C42=6C_4^2=6次binary classification。那么，六次分类之后，如果平面有个点，有三个分类器判断它是正方形，一个分类器判断是菱形，另外两个判断是三角形，那么取最多的那个，即判断它属于正方形，我们的分类就完成了。这种形式就如同k个足球对进行单循环的比赛，每场比赛都有一个队赢，一个队输，赢了得1分，输了得0分。那么总共进行了C2kCk2C_k^2次的比赛，最终取得分最高的那个队就可以了。

这种区别于OVA的多分类方法叫做One-Versus-One(OVO)。这种方法的优点是更加高效，因为虽然需要进行的分类次数增加了，但是每次只需要进行两个类别的比较，也就是说单次分类的数量减少了。而且一般不会出现数据unbalanced的情况。缺点是需要分类的次数多，时间复杂度和空间复杂度可能都比较高。

五、总结

本节课主要介绍了分类问题的三种线性模型：linear classification、linear regression和logistic regression。首先介绍了这三种linear models都可以来做binary classification。然后介绍了比梯度下降算法更加高效的SGD算法来进行logistic regression分析。最后讲解了两种多分类方法，一种是OVA，另一种是OVO。这两种方法各有优缺点，当类别数量k不多的时候，建议选择OVA，以减少分类次数。

注明：

文章中所有的图片均来自台湾大学林轩田《机器学习基石》课程

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