Q_01_06 狄拉克符号
狄拉克符号
虽然列矢量符号在线性代数中无处不在，但量子计算通常很麻烦，特别是在处理多个量子比特时。 例如，当我们将 
定义为一个向量时，它并不清楚 是一个行还是一个列向量。 因此，如果 和 是向量，那么同样不清楚 是否被定义，因为 和 的形状在上下文中可能不清楚。 除了关于矢量形状的模糊性之外，使用之前介绍的线性代数符号表达甚至简单的矢量可能非常麻烦。 例如，如果我们想描述一个n -qubit状态，其中每个量子位的值为0，那么我们将正式表示状态为
当然，评价张量积是不切实际的，因为矢量位于指数级大的空间中，所以这个表示法实际上是可以用前面的符号给出的状态的最佳描述。
狄拉克符号通过提出一种新的语言来解决这些问题，以适应量子力学的精确需求。 出于这个原因，我们建议读者不要将本节中的例子看作是如何描述量子态的严格处方，而是鼓励读者将这些看作是可以用来精确表达量子想法的建议。
狄拉克符号中有两种类型的矢量： 胸罩矢量和矢量矢量，如此命名，因为当放在一起时，它们形成了胸罩或内部产品。 如果 是一个列向量，那么我们可以用的形式将它写成狄拉克符号，其中表示它是一个单位列向量，即一个向量。 同样，行向量 表示为。 换句话说， 是通过对 的转置元素应用条目复合共轭而获得的。 文胸符号直接暗示是矢量 与其本身的内积，根据定义1。
更一般地说，如果 和 是量子状态向量，它们的内积是这意味着测量状态 为 | {\ phi} \ rangle 的概率为。
下面的约定用于描述编码0和1（单量子位计算基态）值的量子态：
下面的符号通常用于描述将Hadamard门应用于（这对应于+x和−x方向中的单位矢量）所导致的状态在Bloch球体上）：
这些状态也可以使用Dirac符号作为的总和进行扩展：
这证明了为什么这些状态通常被称为计算基础 ：每个量子状态总是可以表示为计算基向量的和，并且这些和可以使用狄拉克符号容易地表达。 相反的情况也是如此：状态也构成量子态的基础。 你可以从这个事实看出这一点
作为Dirac符号的一个例子，考虑一下 ，这是0 和1 之间的内部产品。 它可以写成
这表示是正交向量，这意味着。 另外根据定义，这意味着两个计算基本向量也可以称为正交 。 这些正交属性在以下示例中将很有用。 如果我们有一个状态，因为测量1 的概率是
狄拉克符号还包括其内的隐式张量积结构。 这很重要，因为在量子计算中，由两个不相关的量子寄存器描述的状态向量是两个状态向量的张量积。 如果你想解释一个量子计算，简要地描述张量产品结构或者缺乏张量结构是至关重要的。 张量积结构意味着我们可以为任何两个量子状态向量 和 编写 作为，有时显式写为，但是按照惯例在矢量之间写入 是不必要的。 例如，两个量子位初始化为零状态的状态由下式给出
同样，整数 p 的状态表示一个量子状态，它用二进制表示编码整数p。 例如，如果我们希望使用无符号二进制编码表示数字5，我们可以同样表示为在这个符号内不需要指向单个量子位状态，而是一个存储二进制编码0的量子位寄存器 。 这两种表示法之间的差异通常从上下文中清楚可见。 这个约定对于简化可以用以下任何一种方式编写的第一个例子很有用：
作为如何使用狄拉克符号来描述量子态的另一个例子，考虑以下等价的写入量子态的方法，该量子态的长度为n
在这里，您可能会想知道为什么总和从0
到2n−1 为n 位。 首先请注意，n bits可以采用2n 不同的配置。 你可以看到这一点，注意到一位可以取2 值，但两位可以取4 值等等。 一般来说，这意味着有2n 个不同的位串，但是它们中的任何一个编码的最大值是1 cdots1=2n−1 ，因此它是总和的上限。 作为一个方面说明，在这个例子中，我们没有使用 类比因为这个符号约定通常保留为计算基础状态，每个量子位初始化为零。 虽然这种惯例在这种情况下是明智的，但它并未在量子计算文献中使用。
狄拉克符号的另一个很好的特点是它是线性的。 如果我们想写任何四个量子状态向量，
也就是说，可以用狄拉克符号分布张量积表示法，这样在状态向量之间取得张量积就像普通的乘法一样。
BRA载体遵循与载体相似的约定。 例如，矢量 等价于状态矢量。 如果矢量，那么矢量的BRA矢量版本是。
举个例子，假设我们想计算测量状态的概率一个用于测量状态的量子程序，可以是。 那么设备输出的状态是的概率是
在计算概率时出现负号的事实是量子干涉的一种表现，这是量子计算比传统计算获得优势的机制之一。
值得在狄拉克符号中讨论的最后一个项目是ketbra或外部产品。 外部产品在Dirac符号中被表示为
，有时称为ketbras，因为胸罩和kets以与brakets相反的顺序出现。 外部产品通过矩阵乘法定义为量子态向量 。
这个表示法最简单，也是最常见的例子是
Ketbras通常被称为投影仪，因为它们将量子态投影到固定值上。 由于这些操作不是单一的（并且甚至不保持矢量的规范），所以量子计算机不能确定性地应用投影仪应该是不足为奇的。 然而，投影仪在描述测量对量子态的行为方面做得很好。 例如，如果我们测量一个状态为0，那么状态作为测量结果经历的结果转换是
，正如人们所期望的那样，如果你要测量状态并且发现它是。 重申一下，这样的投影仪不能确定性地应用于量子计算机中的状态。 相反，它们最多可以随机应用，结果以某种固定概率出现。 这种测量成功的概率可以写成该状态下量子投影仪的期望值
这说明投影机只是给出一种表达测量过程的新方法。
相反，如果我们考虑测量多量子比特状态的第一个量子位为1，那么我们也可以使用投影仪和狄拉克符号方便地描述这个过程：
这里的单位矩阵可以方便地用狄拉克符号表示
对于有两个量子位的情况，投影机可以扩展为
我们可以看到，这与使用列向量表示法的关于多个状态的测量可能性的讨论是一致的：
这与多量子比特测量讨论相匹配。 然而，将这个结果推广到多量子比特情况下，使用狄拉克符号表示比列矢量表示法更直接，而且与以前的处理完全相同。
用这种语言表达的另一个有用的操作符是一个状态操作符 。 量子状态向量的状态操作符采用
的形式。 这种将状态表示为矩阵而不是矢量的概念通常很方便，因为它提供了表示概率计算的便捷方式，并且还允许在同一形式中描述统计不确定性以及量子不确定性。 一般量子状态算子，而不是矢量，在量子计算的某些领域中无处不在，但对于理解该领域的基础知识并不是必需的。 对于感兴趣的读者，我们推荐阅读其中的一个参考书籍以获取更多信息 。
关于量子符号和Q＃编程语言的最后一点值得提出：在本文开始时我们提到量子态是量子计算中信息的基本对象。 Q＃中没有量子态的概念可能会让人感到惊讶。 相反，所有国家只能通过用于准备它们的操作来描述。 前面的例子就是一个很好的例子。 我们可以将结果表示为，而不是在寄存器中的每个量子位串上表示均匀叠加。 这种指数级的状态描述不仅具有我们可以对其进行传统推理的优点，而且还简明地定义了需要通过软件堆栈传播以实现该算法的操作。 出于这个原因，Q＃被设计为发射门序列而不是量子态; 然而，在理论层面上，这两种观点是等同的。
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