用狄拉克符号推导旋转矩阵

\qquad假设旋转变换用算符 F^\hat{F}F^ 表示，假设右矢 ∣ψ1⟩\left|\psi_1\right\rangle∣ψ1⟩ 在二维直角坐标中逆时针旋转 θ\thetaθ 之后变成了右矢 ∣ψ2⟩\left|\psi_2\right\rangle∣ψ2⟩，也就是：

∣ψ2⟩=F^∣ψ1⟩\qquad\qquad\qquad\left|\psi_2\right\rangle=\hat{F}\left|\psi_1\right\rangle∣ψ2⟩=F^∣ψ1⟩

\qquad算符 F^\hat{F}F^ 可以左右各乘上一个恒等算符之后仍然是相等的：

F^=I^F^I^\qquad\qquad\qquad\hat{F}=\hat{I}\hat{F}\hat{I}F^=I^F^I^

\qquad对于二维直角坐标系而言，恒等算符 I^=∣i⟩⟨i∣+∣j⟩⟨j∣\hat{I}=|i\rangle\langle i|+|j\rangle\langle j|I^=∣i⟩⟨i∣+∣j⟩⟨j∣，这里假设 ∣i⟩|i\rangle∣i⟩ 和 ∣j⟩|j\rangle∣j⟩ 为基矢，如下图所示：
\qquad
\qquad那么：
F^=I^F^I^=(∣i⟩⟨i∣+∣j⟩⟨j∣)F^(∣i⟩⟨i∣+∣j⟩⟨j∣)=∣i⟩⟨i∣F^∣i⟩⟨i∣+∣i⟩⟨i∣F^∣j⟩⟨j∣+∣j⟩⟨j∣F^∣i⟩⟨i∣+∣j⟩⟨j∣F^∣j⟩⟨j∣=∣i⟩Fii⟨i∣+∣i⟩Fij⟨j∣+∣j⟩Fji⟨i∣+∣j⟩Fjj⟨j∣\qquad\qquad\qquad\begin{aligned}\hat{F}&=\hat{I}\hat{F}\hat{I}\\ &=(|i\rangle\langle i|+|j\rangle\langle j|)\hat{F}(|i\rangle\langle i|+|j\rangle\langle j|)\\ &=|i\rangle\textcolor{crimson}{\langle i|\hat{F}|i\rangle}\langle i|+|i\rangle\textcolor{crimson}{\langle i|\hat{F}|j\rangle}\langle j|+|j\rangle\textcolor{crimson}{\langle j|\hat{F}|i\rangle}\langle i|+|j\rangle\textcolor{crimson}{\langle j|\hat{F}|j\rangle}\langle j| \\ &=|i\rangle\textcolor{blue}{F_{ii}}\langle i|+|i\rangle\textcolor{blue}{F_{ij}}\langle j|+|j\rangle\textcolor{blue}{F_{ji}}\langle i|+|j\rangle\textcolor{blue}{F_{jj}}\langle j| \end{aligned}F^=I^F^I^=(∣i⟩⟨i∣+∣j⟩⟨j∣)F^(∣i⟩⟨i∣+∣j⟩⟨j∣)=∣i⟩⟨i∣F^∣i⟩⟨i∣+∣i⟩⟨i∣F^∣j⟩⟨j∣+∣j⟩⟨j∣F^∣i⟩⟨i∣+∣j⟩⟨j∣F^∣j⟩⟨j∣=∣i⟩Fii⟨i∣+∣i⟩Fij⟨j∣+∣j⟩Fji⟨i∣+∣j⟩Fjj⟨j∣

\qquad旋转算符 F^\hat{F}F^ 可以表示成矩阵形式：

F^=[FiiFijFjiFjj]\qquad\qquad\qquad\hat{F}=\begin{bmatrix}F_{ii} & F_{ij}\\\\F_{ji} & F_{jj}\end{bmatrix}F^=⎣⎡FiiFjiFijFjj⎦⎤

\qquad若右矢 ∣ψ1⟩=(x1,y1)T\left|\psi_1\right\rangle=(x_1,y_1)^T∣ψ1⟩=(x1,y1)T 以及 ∣ψ2⟩=(x2,y2)T\left|\psi_2\right\rangle=(x_2,y_2)^T∣ψ2⟩=(x2,y2)T ，旋转变换 ∣ψ2⟩=F^∣ψ1⟩\left|\psi_2\right\rangle=\hat{F}\left|\psi_1\right\rangle∣ψ2⟩=F^∣ψ1⟩ 就可以表示为：

[x2y2]=[FiiFijFjiFjj][x1y1]\qquad\qquad\qquad\begin{bmatrix}x_2 \\\\y_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}F_{ii} & F_{ij}\\\\F_{ji} & F_{jj}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\\\y_1 \end{bmatrix}⎣⎡x2y2⎦⎤=⎣⎡FiiFjiFijFjj⎦⎤⎣⎡x1y1⎦⎤

(1)(1)(1) 考虑矩阵元 Fii=⟨i∣F^∣i⟩F_{ii}=\textcolor{crimson}{\langle i|\hat{F}|i\rangle}Fii=⟨i∣F^∣i⟩，可以认为旋转算符 F^\hat{F}F^ 先作用在基矢 ∣i⟩|i\rangle∣i⟩ 上变成了右矢 F^∣i⟩\textcolor{crimson}{\hat{F}|i\rangle}F^∣i⟩（相当于将基矢 ∣i⟩|i\rangle∣i⟩ 逆时针旋转 θ\thetaθ），再与基矢 ∣i⟩|i\rangle∣i⟩ 做内积（相当于计算右矢 F^∣i⟩\textcolor{crimson}{\hat{F}|i\rangle}F^∣i⟩ 在基矢 ∣i⟩|i\rangle∣i⟩ 的投影）。因此，Fii=⟨i∣F^∣i⟩=cos⁡θF_{ii}=\textcolor{crimson}{\langle i|\hat{F}|i\rangle}=\cos\thetaFii=⟨i∣F^∣i⟩=cosθ，计算过程如下图所示：
\qquad
(2)(2)(2) 考虑矩阵元 Fij=⟨i∣F^∣j⟩F_{ij}=\textcolor{crimson}{\langle i|\hat{F}|j\rangle}Fij=⟨i∣F^∣j⟩，可以认为旋转算符 F^\hat{F}F^ 先作用在基矢 ∣j⟩|j\rangle∣j⟩ 上变成了右矢 F^∣j⟩\textcolor{crimson}{\hat{F}|j\rangle}F^∣j⟩（相当于将基矢 ∣j⟩|j\rangle∣j⟩ 逆时针旋转 θ\thetaθ），再与基矢 ∣i⟩|i\rangle∣i⟩ 做内积（相当于计算右矢 F^∣j⟩\textcolor{crimson}{\hat{F}|j\rangle}F^∣j⟩ 在基矢 ∣i⟩|i\rangle∣i⟩ 的投影）。因此，Fij=⟨i∣F^∣j⟩=−sin⁡θF_{ij}=\textcolor{crimson}{\langle i|\hat{F}|j\rangle}=-\sin\thetaFij=⟨i∣F^∣j⟩=−sinθ，计算过程如下图所示：
\qquad
(3)(3)(3) 考虑矩阵元 Fji=⟨j∣F^∣i⟩F_{ji}=\textcolor{crimson}{\langle j|\hat{F}|i\rangle}Fji=⟨j∣F^∣i⟩，可以认为旋转算符 F^\hat{F}F^ 先作用在基矢 ∣i⟩|i\rangle∣i⟩ 上变成了右矢 F^∣i⟩\textcolor{crimson}{\hat{F}|i\rangle}F^∣i⟩（相当于将基矢 ∣i⟩|i\rangle∣i⟩ 逆时针旋转 θ\thetaθ），再与基矢 ∣j⟩|j\rangle∣j⟩ 做内积（相当于计算右矢 F^∣i⟩\textcolor{crimson}{\hat{F}|i\rangle}F^∣i⟩ 在基矢 ∣j⟩|j\rangle∣j⟩ 的投影）。因此，Fji=⟨j∣F^∣i⟩=sin⁡θF_{ji}=\textcolor{crimson}{\langle j|\hat{F}|i\rangle}=\sin\thetaFji=⟨j∣F^∣i⟩=sinθ，计算过程如下图所示：
\qquad
(4)(4)(4) 考虑矩阵元 Fjj=⟨j∣F^∣j⟩F_{jj}=\textcolor{crimson}{\langle j|\hat{F}|j\rangle}Fjj=⟨j∣F^∣j⟩，可以认为旋转算符 F^\hat{F}F^ 先作用在基矢 ∣j⟩|j\rangle∣j⟩ 上变成了右矢 F^∣j⟩\textcolor{crimson}{\hat{F}|j\rangle}F^∣j⟩（相当于将基矢 ∣j⟩|j\rangle∣j⟩ 逆时针旋转 θ\thetaθ），再与基矢 ∣j⟩|j\rangle∣j⟩ 做内积（相当于计算右矢 F^∣j⟩\textcolor{crimson}{\hat{F}|j\rangle}F^∣j⟩ 在基矢 ∣j⟩|j\rangle∣j⟩ 的投影）。因此，Fjj=⟨j∣F^∣j⟩=cos⁡θF_{jj}=\textcolor{crimson}{\langle j|\hat{F}|j\rangle}=\cos\thetaFjj=⟨j∣F^∣j⟩=cosθ，计算过程如下图所示：
\qquad
\qquad因此，逆时针旋转 θ\thetaθ 的旋转算符 F^\hat{F}F^ 的变换矩阵为：

F^=[FiiFijFjiFjj]=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]\qquad\qquad\qquad\hat{F}=\begin{bmatrix}F_{ii} & F_{ij}\\\\F_{ji} & F_{jj}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\\\\sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}F^=⎣⎡FiiFjiFijFjj⎦⎤=⎣⎡cosθsinθ−sinθcosθ⎦⎤

\qquad
\qquad感叹下数学和物理的奇妙！！！

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