3x3矩阵怎么求逆矩阵_表象变换的幺正算符怎么定义的? 为何说算符与态可以看作矩阵?...

为了方便计算,量子力学常常进行表象的转换. 而表象的转换也十分简单, 只要插入封闭性关系式^[1]即可达到目的. 运算过程中我们会发现可以抽象出一个重复率很高的部分, 所以方便起见我们将其定义为基的变换矩阵, 它是一个幺正矩阵.

下面定义两组三维离散完备正交基(不难推广到连续无穷维, 三维离散是出于直观化^[2]考虑. ):

$\left\{ \begin{align} & \left\{ \left| {{e}_{i}} \right\rangle \right\}\ \ \ \ \ \sum\limits_{i}{\left| {{e}_{i}} \right\rangle \left\langle {{e}_{i}} \right|}=I\ \ \ \ \ \ i=1,2,3 \\ & \left\{ \left| {{u}_{k}} \right\rangle \right\}\ \ \ \ \sum\limits_{k}{\left| {{u}_{k}} \right\rangle \left\langle {{u}_{k}} \right|}=I\ \ \ \ \ k=1,2,3 \\ \end{align} \right.$

首先要清楚一点: 狄拉克符号"

$\left| Dirac \right\rangle$ " 表示的是一个矢量, 但他仅仅只是表示一个抽象的矢量概念的符号罢了. 所表示的矢量本身就像空间中的一个箭头, 它有大小有取向, 大小还好说, 这模长量一下就好了这样就可以用一个数表示, 这是个数不会因观察角度不同而改变; 但如果你想描述它的取向的话首先你要先设立一个坐标系

^[3],这样才能表达方向, 然后你才能在所定义的方向上看这个矢量的分量是多少(具体方法是与表征该方向的单位矢量^[4]做内积), 这样一来, 各个方向上的分量也可以用一个数表示. 这样一来才能用一个列矩阵来表示一个矢量. 所以, 表象的选择其实就是坐标系的选择. 差不多一个意思地, 想用方阵来表示一个算符, 那你也要先选定一个表象(坐标系).

上面那段话举个例子就是这样:

$\left| \psi \right\rangle ={{\left| \psi \right\rangle }_{e}}=\sum\limits_{i}{\left| {{e}_{i}} \right\rangle \left\langle {{e}_{i}}|\psi \right\rangle }=\sum\limits_{i}{\left\langle {{e}_{i}}|\psi \right\rangle \left| {{e}_{i}} \right\rangle }$

其中

$\left\langle {{e}_{i}} | \psi \right\rangle$ 是个复数表示分量;

$\left| {{e}_{i}} \right\rangle$ 是基矢, 像单位一样.

所以各个分量单位不同自然不能加在一起而要分开写, 即可以写成列矩阵

${{\left| \psi \right\rangle }_{e}}=\left[ \begin{matrix} \left\langle {{e}_{1}}|\psi \right\rangle \\ \left\langle {{e}_{2}}|\psi \right\rangle \\ \left\langle {{e}_{3}}|\psi \right\rangle \\ \end{matrix} \right]$

所谓表象的变换就是想从

$\left[ \begin{matrix} \left\langle {{e}_{1}} | \psi \right\rangle \\ \left\langle {{e}_{2}} | \psi \right\rangle \\ \left\langle {{e}_{3}} | \psi \right\rangle \\ \end{matrix} \right]$ 变成

$\left[ \begin{matrix} \left\langle {{u}_{1}} | \psi \right\rangle \\ \left\langle {{u}_{2}} | \psi \right\rangle \\ \left\langle {{u}_{3}} | \psi \right\rangle \\ \end{matrix} \right]$ , 或者反过来变.

其实也简单, 就像一开始说的那样, 插入一个封闭性关系式即可达到目的.

$\left\langle {{u}_{k}} | \psi \right\rangle =\left\langle {{u}_{k}} \right|\sum\limits_{i}{\left| {{e}_{i}} \right\rangle \left\langle {{e}_{i}} \right|}\left| \psi \right\rangle =\sum\limits_{i}{\left\langle {{u}_{k}} | {{e}_{i}} \right\rangle \left\langle {{e}_{i}} | \psi \right\rangle }$

可以得到

${{\left| \psi \right\rangle }_{u}}=\sum\limits_{k}{\left\langle {{u}_{k}}|\psi \right\rangle \left| {{u}_{k}} \right\rangle }=\sum\limits_{ki}{\left\langle {{u}_{k}}|{{e}_{i}} \right\rangle \left\langle {{e}_{i}}|\psi \right\rangle \left| {{u}_{k}} \right\rangle }$

写成矩阵形式

${{\left| \psi \right\rangle }_{u}}=\left[ \begin{matrix} \left\langle {{u}_{1}}|\psi \right\rangle \\ \left\langle {{u}_{2}}|\psi \right\rangle \\ \left\langle {{u}_{3}}|\psi \right\rangle \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} \left\langle {{u}_{1}}|{{e}_{1}} \right\rangle & \left\langle {{u}_{1}}|{{e}_{2}} \right\rangle & \left\langle {{u}_{1}}|{{e}_{3}} \right\rangle \\ \left\langle {{u}_{2}}|{{e}_{1}} \right\rangle & \left\langle {{u}_{2}}|{{e}_{2}} \right\rangle & \left\langle {{u}_{2}}|{{e}_{3}} \right\rangle \\ \left\langle {{u}_{3}}|{{e}_{1}} \right\rangle & \left\langle {{u}_{3}}|{{e}_{2}} \right\rangle & \left\langle {{u}_{3}}|{{e}_{3}} \right\rangle \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} \left\langle {{e}_{1}}|\psi \right\rangle \\ \left\langle {{e}_{2}}|\psi \right\rangle \\ \left\langle {{e}_{3}}|\psi \right\rangle \\ \end{matrix} \right]$

上面方阵定义为表象的变换矩阵, 记作

$S$

不难看出

$S$ 的矩阵元就是

${{S}_{ki}}=\left\langle {{u}_{k}} | {{e}_{i}} \right\rangle$

所以假如分别记

$\left\{ \left| {{e}_{i}} \right\rangle \right\}\left\{ \left| {{u}_{k}} \right\rangle \right\}$ 表象下的

$\left| \psi \right\rangle$ 为

${{\left| \psi \right\rangle }_{e}},{{\left| \psi \right\rangle }_{u}}$ 的话，

则有:

${{\left| \psi \right\rangle }_{u}}=S{{\left| \psi \right\rangle }_{e}}$ ，其中

${{S}_{ki}}=\left\langle {{u}_{k}} | {{e}_{i}} \right\rangle$

${{\left| \psi \right\rangle }_{u}}=S{{\left| \psi \right\rangle }_{e}}\Rightarrow {{\left| \psi \right\rangle }_{e}}={{S}^{\dagger }}{{\left| \psi \right\rangle }_{u}}$

^[5]

实际上逻辑上来说

$\left| \psi \right\rangle ,{{\left| \psi \right\rangle }_{e}},{{\left| \psi \right\rangle }_{u}}$ 实际上是一回事, 毕竟坐标系不会改变什么本质的东西.

一个不怎么贴切的说法是它们三个就好比是某全裸角色和他的两个时装版本.

在上文的基础上讲讲算符的表象转换:

$A=\sum\limits_{i}{\left| {{e}_{i}} \right\rangle \langle {{e}_{i}}|}A\sum\limits_{j}{\left| {{e}_{j}} \right\rangle \langle {{e}_{j}}|}=\sum\limits_{ij}{\langle {{e}_{i}}|A\left| {{e}_{j}} \right\rangle \left| {{e}_{i}} \right\rangle \langle {{e}_{j}}|}$

其中

$\langle {{e}_{i}}|A\left| {{e}_{j}} \right\rangle$ 是个复数表示分量, 称作矩阵元, 记作

${{A}_{ij}}$ .

$\left| {{e}_{i}} \right\rangle \langle {{e}_{j}}|$ 是一个基矩阵, 像个单位一样, 表示

${{A}_{ij}}$ 该放在哪个位置.

#一般不会这样写, 但这样写也有够直观的.

比如说假如

${{\left| {{e}_{2}} \right\rangle }_{e}}=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{matrix} \right]\ \ \ {{\left| {{e}_{1}} \right\rangle }_{e}}=\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right]$

那么

$\left| {{e}_{2}} \right\rangle {{\left\langle {{e}_{1}} \right|}_{e}}=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{matrix} \right]\left[ 1,0,0 \right]=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right]$ 就说明了这个矩阵元要放在第二行第一列.

当然了,上面的矩阵是在

$\left\{ \left| {{e}_{i}} \right\rangle \right\}$ 表象下写出来的

所以呢

${{A}_{e}}=\sum\limits_{ij}{\langle {{e}_{i}}|A\left| {{e}_{j}} \right\rangle \left| {{e}_{i}} \right\rangle \langle {{e}_{j}}|}=\left[ \begin{matrix} \langle {{e}_{1}}|A\left| {{e}_{1}} \right\rangle & \langle {{e}_{1}}|A\left| {{e}_{2}} \right\rangle & \langle {{e}_{1}}|A\left| {{e}_{3}} \right\rangle \\ \langle {{e}_{2}}|A\left| {{e}_{1}} \right\rangle & \langle {{e}_{2}}|A\left| {{e}_{2}} \right\rangle & \langle {{e}_{2}}|A\left| {{e}_{3}} \right\rangle \\ \langle {{e}_{3}}|A\left| {{e}_{1}} \right\rangle & \langle {{e}_{3}}|A\left| {{e}_{2}} \right\rangle & \langle {{e}_{3}}|A\left| {{e}_{3}} \right\rangle \\ \end{matrix} \right]$

所谓表象变换就是:

想从

$\left[ \begin{matrix} \left\langle {{e}_{1}} \right|A\left| {{e}_{1}} \right\rangle & \left\langle {{e}_{1}} \right|A\left| {{e}_{2}} \right\rangle & \left\langle {{e}_{1}} \right|A\left| {{e}_{3}} \right\rangle \\ \left\langle {{e}_{2}} \right|A\left| {{e}_{1}} \right\rangle & \left\langle {{e}_{2}} \right|A\left| {{e}_{2}} \right\rangle & \left\langle {{e}_{2}} \right|A\left| {{e}_{3}} \right\rangle \\ \left\langle {{e}_{3}} \right|A\left| {{e}_{1}} \right\rangle & \left\langle {{e}_{3}} \right|A\left| {{e}_{2}} \right\rangle & \left\langle {{e}_{3}} \right|A\left| {{e}_{3}} \right\rangle \\ \end{matrix} \right]$

变成

$\left[ \begin{matrix} \left\langle {{u}_{1}} \right|A\left| {{u}_{1}} \right\rangle & \left\langle {{u}_{1}} \right|A\left| {{u}_{2}} \right\rangle & \left\langle {{u}_{1}} \right|A\left| {{u}_{3}} \right\rangle \\ \left\langle {{u}_{2}} \right|A\left| {{u}_{1}} \right\rangle & \left\langle {{u}_{2}} \right|A\left| {{u}_{2}} \right\rangle & \left\langle {{u}_{2}} \right|A\left| {{u}_{3}} \right\rangle \\ \left\langle {{u}_{3}} \right|A\left| {{u}_{1}} \right\rangle & \left\langle {{u}_{3}} \right|A\left| {{u}_{2}} \right\rangle & \left\langle {{u}_{3}} \right|A\left| {{u}_{3}} \right\rangle \\ \end{matrix} \right]$

其实也简单, 就像一开始说的那样, 插入两个封闭性关系式即可达到目的.

$\langle {{u}_{m}}|A\left| {{u}_{n}} \right\rangle =\langle {{u}_{m}}|\sum\limits_{i}{\left| {{e}_{i}} \right\rangle \langle {{e}_{i}}|}A\sum\limits_{j}{\left| {{e}_{j}} \right\rangle \langle {{e}_{j}}|}\left| {{u}_{n}} \right\rangle =\sum\limits_{ij}{\left\langle {{u}_{m}} | {{e}_{i}} \right\rangle \langle {{e}_{i}}|A\left| {{e}_{j}} \right\rangle \left\langle {{e}_{j}} | {{u}_{n}} \right\rangle }$

即

${{A}_{u}}=\sum\limits_{mn}{\langle {{u}_{m}}|A\left| {{u}_{n}} \right\rangle \left| {{u}_{m}} \right\rangle \langle {{u}_{n}}|}=\sum\limits_{ijmn}{\left\langle {{u}_{m}}|{{e}_{i}} \right\rangle \langle {{e}_{i}}|A\left| {{e}_{j}} \right\rangle \left\langle {{e}_{j}}|{{u}_{n}} \right\rangle \left| {{u}_{m}} \right\rangle \langle {{u}_{n}}|}$

写成矩阵形式

$\begin{align} & \ \ \ \ \ \left[ \begin{matrix} \langle {{u}_{1}}|A\left| {{u}_{1}} \right\rangle & \langle {{u}_{1}}|A\left| {{u}_{2}} \right\rangle & \langle {{u}_{1}}|A\left| {{u}_{3}} \right\rangle \\ \langle {{u}_{2}}|A\left| {{u}_{1}} \right\rangle & \langle {{u}_{2}}|A\left| {{u}_{2}} \right\rangle & \langle {{u}_{2}}|A\left| {{u}_{3}} \right\rangle \\ \langle {{u}_{3}}|A\left| {{u}_{1}} \right\rangle & \langle {{u}_{3}}|A\left| {{u}_{2}} \right\rangle & \langle {{u}_{3}}|A\left| {{u}_{3}} \right\rangle \\ \end{matrix} \right] \\ & =\left[ \begin{matrix} \left\langle {{u}_{1}}|{{e}_{1}} \right\rangle & \left\langle {{u}_{1}}|{{e}_{2}} \right\rangle & \left\langle {{u}_{1}}|{{e}_{3}} \right\rangle \\ \left\langle {{u}_{2}}|{{e}_{1}} \right\rangle & \left\langle {{u}_{2}}|{{e}_{2}} \right\rangle & \left\langle {{u}_{2}}|{{e}_{3}} \right\rangle \\ \left\langle {{u}_{3}}|{{e}_{1}} \right\rangle & \left\langle {{u}_{3}}|{{e}_{2}} \right\rangle & \left\langle {{u}_{3}}|{{e}_{3}} \right\rangle \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} \langle {{e}_{1}}|A\left| {{e}_{1}} \right\rangle & \langle {{e}_{1}}|A\left| {{e}_{2}} \right\rangle & \langle {{e}_{1}}|A\left| {{e}_{3}} \right\rangle \\ \langle {{e}_{2}}|A\left| {{e}_{1}} \right\rangle & \langle {{e}_{2}}|A\left| {{e}_{2}} \right\rangle & \langle {{e}_{2}}|A\left| {{e}_{3}} \right\rangle \\ \langle {{e}_{3}}|A\left| {{e}_{1}} \right\rangle & \langle {{e}_{3}}|A\left| {{e}_{2}} \right\rangle & \langle {{e}_{3}}|A\left| {{e}_{3}} \right\rangle \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} \left\langle {{e}_{1}}|{{u}_{1}} \right\rangle & \left\langle {{e}_{1}}|{{u}_{2}} \right\rangle & \left\langle {{e}_{1}}|{{u}_{3}} \right\rangle \\ \left\langle {{e}_{2}}|{{u}_{1}} \right\rangle & \left\langle {{e}_{2}}|{{u}_{2}} \right\rangle & \left\langle {{e}_{2}}|{{u}_{3}} \right\rangle \\ \left\langle {{e}_{3}}|{{u}_{1}} \right\rangle & \left\langle {{e}_{3}}|{{u}_{2}} \right\rangle & \left\langle {{e}_{3}}|{{u}_{3}} \right\rangle \\ \end{matrix} \right] \\ \end{align}$

上面第二行最左边方阵定义为表象的变换矩阵, 记作

$S$ .

不难看出

$S$ 的矩阵元就是

${{S}_{mi}}=\left\langle {{u}_{m}}|{{e}_{i}} \right\rangle$ , 且最右边的是

${{S}^{\dagger }}$ .

所以假如分别记

$\left\{ \left| {{e}_{i}} \right\rangle \right\}\left\{ \left| {{u}_{m}} \right\rangle \right\}$ 表象下的

$A$ 为

${{A}_{e}},{{A}_{u}}$ 的话，

则有:

${{A}_{u}}=S{{A}_{e}}{{S}^{\dagger }}$ , 其中

${{S}_{mi}}=\left\langle {{u}_{m}}|{{e}_{i}} \right\rangle$

${{A}_{u}}=S{{A}_{e}}{{S}^{\dagger }}\Rightarrow {{A}_{e}}={{S}^{\dagger }}{{A}_{u}}S$ , 其中

${{\left( {{S}^{\dagger }} \right)}_{im}}=\left\langle {{e}_{i}}|{{u}_{m}} \right\rangle$

#所以事实上

$S,{{S}^{\dagger }}$ 的位置都是相对的,不用过于在意.

#Still,

$A,{{A}_{e}},{{A}_{u}}$ 物理上来说是一回事, 也有地方说他们是互为幺正等价算符.

显然幺正等价厄米算符均有全同的谱(本征值).

#这个操作常用于把表象转换为算符自身的表象,这样可以得到一个对角阵.

关于算符幺正变换

${{A}_{u}}=S{{A}_{e}}{{S}^{\dagger }}$ 的幺正阵究竟是怎么拼出来的这点一直有人问到.

所以这里讲一个直观的理解方法:

前面我们得到了表达式

${{A}_{u}}=S{{A}_{e}}{{S}^{\dagger }}$ 的矩阵式子

$\begin{align} & \left[ \begin{matrix} \left\langle {{u}_{1}} \right|A\left| {{u}_{1}} \right\rangle & \left\langle {{u}_{1}} \right|A\left| {{u}_{2}} \right\rangle & \left\langle {{u}_{1}} \right|A\left| {{u}_{3}} \right\rangle \\ \left\langle {{u}_{2}} \right|A\left| {{u}_{1}} \right\rangle & \left\langle {{u}_{2}} \right|A\left| {{u}_{2}} \right\rangle & \left\langle {{u}_{2}} \right|A\left| {{u}_{3}} \right\rangle \\ \left\langle {{u}_{3}} \right|A\left| {{u}_{1}} \right\rangle & \left\langle {{u}_{3}} \right|A\left| {{u}_{2}} \right\rangle & \left\langle {{u}_{3}} \right|A\left| {{u}_{3}} \right\rangle \\ \end{matrix} \right] \\ & =\left[ \begin{matrix} \left\langle {{u}_{1}}|{{e}_{1}} \right\rangle & \left\langle {{u}_{1}}|{{e}_{2}} \right\rangle & \left\langle {{u}_{1}}|{{e}_{3}} \right\rangle \\ \left\langle {{u}_{2}}|{{e}_{1}} \right\rangle & \left\langle {{u}_{2}}|{{e}_{2}} \right\rangle & \left\langle {{u}_{2}}|{{e}_{3}} \right\rangle \\ \left\langle {{u}_{3}}|{{e}_{1}} \right\rangle & \left\langle {{u}_{3}}|{{e}_{2}} \right\rangle & \left\langle {{u}_{3}}|{{e}_{3}} \right\rangle \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} \left\langle {{e}_{1}} \right|A\left| {{e}_{1}} \right\rangle & \left\langle {{e}_{1}} \right|A\left| {{e}_{2}} \right\rangle & \left\langle {{e}_{1}} \right|A\left| {{e}_{3}} \right\rangle \\ \left\langle {{e}_{2}} \right|A\left| {{e}_{1}} \right\rangle & \left\langle {{e}_{2}} \right|A\left| {{e}_{2}} \right\rangle & \left\langle {{e}_{2}} \right|A\left| {{e}_{3}} \right\rangle \\ \left\langle {{e}_{3}} \right|A\left| {{e}_{1}} \right\rangle & \left\langle {{e}_{3}} \right|A\left| {{e}_{2}} \right\rangle & \left\langle {{e}_{3}} \right|A\left| {{e}_{3}} \right\rangle \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} \left\langle {{e}_{1}}|{{u}_{1}} \right\rangle & \left\langle {{e}_{1}}|{{u}_{2}} \right\rangle & \left\langle {{e}_{1}}|{{u}_{3}} \right\rangle \\ \left\langle {{e}_{2}}|{{u}_{1}} \right\rangle & \left\langle {{e}_{2}}|{{u}_{2}} \right\rangle & \left\langle {{e}_{2}}|{{u}_{3}} \right\rangle \\ \left\langle {{e}_{3}}|{{u}_{1}} \right\rangle & \left\langle {{e}_{3}}|{{u}_{2}} \right\rangle & \left\langle {{e}_{3}}|{{u}_{3}} \right\rangle \\ \end{matrix} \right] \\ \end{align}$

那么, 我们该如何记住其中的

矩阵

$S$ 是

$\left[ \begin{matrix} \left\langle {{u}_{1}}|{{e}_{1}} \right\rangle & \left\langle {{u}_{1}}|{{e}_{2}} \right\rangle & \left\langle {{u}_{1}}|{{e}_{3}} \right\rangle \\ \left\langle {{u}_{2}}|{{e}_{1}} \right\rangle & \left\langle {{u}_{2}}|{{e}_{2}} \right\rangle & \left\langle {{u}_{2}}|{{e}_{3}} \right\rangle \\ \left\langle {{u}_{3}}|{{e}_{1}} \right\rangle & \left\langle {{u}_{3}}|{{e}_{2}} \right\rangle & \left\langle {{u}_{3}}|{{e}_{3}} \right\rangle \\ \end{matrix} \right]$ 而非

$\left[ \begin{matrix} \left\langle {{e}_{1}}|{{u}_{1}} \right\rangle & \left\langle {{e}_{1}}|{{u}_{2}} \right\rangle & \left\langle {{e}_{1}}|{{u}_{3}} \right\rangle \\ \left\langle {{e}_{2}}|{{u}_{1}} \right\rangle & \left\langle {{e}_{2}}|{{u}_{2}} \right\rangle & \left\langle {{e}_{2}}|{{u}_{3}} \right\rangle \\ \left\langle {{e}_{3}}|{{u}_{1}} \right\rangle & \left\langle {{e}_{3}}|{{u}_{2}} \right\rangle & \left\langle {{e}_{3}}|{{u}_{3}} \right\rangle \\\end{matrix} \right]$ 呢?

也就是说这俩互为厄米共轭的矩阵哪个摆在左边哪个摆在右边呢？

很简单, 知道式子

${{\left| \psi \right\rangle }_{e}}=\left[ \begin{matrix} \left\langle {{e}_{1}}|{{u}_{1}} \right\rangle & \left\langle {{e}_{1}}|{{u}_{2}} \right\rangle & \left\langle {{e}_{1}}|{{u}_{3}} \right\rangle \\ \left\langle {{e}_{2}}|{{u}_{1}} \right\rangle & \left\langle {{e}_{2}}|{{u}_{2}} \right\rangle & \left\langle {{e}_{2}}|{{u}_{3}} \right\rangle \\ \left\langle {{e}_{3}}|{{u}_{1}} \right\rangle & \left\langle {{e}_{3}}|{{u}_{2}} \right\rangle & \left\langle {{e}_{3}}|{{u}_{3}} \right\rangle \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} \left\langle {{u}_{1}}|\psi \right\rangle \\ \left\langle {{u}_{2}}|\psi \right\rangle \\ \left\langle {{u}_{3}}|\psi \right\rangle \\ \end{matrix} \right]={{S}_{u\to e}}{{\left| \psi \right\rangle }_{u}}$ 即可.

上面的这个式子意思是这个矩阵可以把

$u$ 表象的

$\left| \psi \right\rangle$ 转换到

$e$ 表象, 我们记作

${{S}_{u\to e}}$ .

那么前面的表达式其实可以更加显然的写作

${{A}_{u}}={{S}_{e\to u}}{{A}_{e}}{{S}_{u\to e}}$ .

Q: 那么我们对算符进行幺正变换是想解决什么问题呢?
A: 当我们在

$u$ 表象下工作时, 突然想对矢量

${{\left| \psi \right\rangle }_{u}}$ 进行一个线性变换

$A$ , 但是我们出于某些不知名的原因并不知道

${{A}_{u}}$ 的形式, 而只知道这个操作在

$e$ 表象下的形式

${{A}_{e}}$ .

现在我们只知道

${{A}_{e}}$ 的形式, 那我们就这么做:

先把矢量变到

$e$ 空间:

${{S}_{u\to e}}{{\left| \psi \right\rangle }_{u}}$

➡再对结果进行线性变换

${{A}_{e}}\left( {{S}_{u\to e}}{{\left| \psi \right\rangle }_{u}} \right)$

➡再把

$e$ 空间的结果变回来:

${{S}_{e\to u}}\left[ {{A}_{e}}\left( {{S}_{u\to e}}{{\left| \psi \right\rangle }_{u}} \right) \right]$

这一顿操作等价于在

$u$ 空间进行操作

$A$ 即:

${{A}_{u}}{{\left| \psi \right\rangle }_{u}}={{S}_{e\to u}}\left[ {{A}_{e}}\left( {{S}_{u\to e}}{{\left| \psi \right\rangle }_{u}} \right) \right]$

所以我们把这一大块封装好当作一整个工具就有了:

${{A}_{u}}={{S}_{e\to u}}{{A}_{e}}{{S}_{u\to e}}$

这是否让人对相似矩阵的意义有了更深的理解?
若

$A={{P}^{-1}}BP$ 则称

$A, B$ 互为相似矩阵.

相似矩阵的概念更广义一点, 因为

$P$ 只要求是有逆的线性变换而不要求是幺正变换.

参考

^也称基的完备性关系式
^也就是说出于人道主义(笑
^或者说选择一个坐标系吧
^一般就是基矢量
^用到了幺正性, 不难证明其具有这个性质

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