在我刚读物理专业时，看到各类科普书都在或多或少吹嘘爱因斯坦是如何地相信对称性，对称性对物理产生了如何巨大的影响，那时候实在无法理解对称性是如何影响物理学，为什么说有了洛伦兹不变形就有了狭义相对论。在学到多重积分后，才强烈地感受到对称性会给计算带来巨大便捷！（这里说的对称性，仅仅指积分函数是奇函数或者偶函数，或者是在对球对称区间作积分时积分函数具有轮换对称性）直到大二下学期自学群论时，才知道什么是对称性，以及对称性是如何在数学上进行严格地表示，但由于当时比较注重证明，因此只看完群的基础概念和群表示论、SU(2)、SO(3)Group就没有精力再啃下去。

直到这学期亲手分析了几个物理例子，才真切地感受对称性地对物理的影响，以及由此带来的美感。比如从量子体系的对称性直接得出能级简并度，因此想在这里写两篇小文章，分享一下如下几个小栗子顺便引入群论中的部分概念，希望能给在学习群论或者将学习群论的想做物理的同学们一些激励和帮助。

1.多极矩（球函数的生成） （

Group）。2.量子力学中的对称群。

3. Graphene能带。 4.钙钛矿（

group）中的

、

Orbit 和 Jahn-Teller畸变。

5. SPT Phase 与 磁群简介

1. 旋转操作（球函数生成及多极矩的定义）（这一部分的认识主要来自电动力学和高量的学习）

引言：除了在高中就学过的平移操作（将函数平移

:

），旋转操作可以说是我们最熟悉的操作（这里只讨论三维空间中的旋转），绕某条轴

旋转

角度称为一个旋转操作，记为

；我们将三维空间中的所有旋转操作组成的集合

{

}称为旋转群，记为SO(3)。

• 标量：考虑常量C，不难想象，不论我们如何旋转坐标系，这个常数始终保持不变，我们称这样的量为标量。
• 笛卡尔矢量：考虑一个函数
  (其中C是标量),如果我们对坐标轴做旋转
  ，不难看出经

  任意的旋转操作后产生的新的函数都可写成：

  且
  （旋转不改变矢量的长度）。

（1）.因此这里的任意函数都可以用数组

来表示，我们通常记

称为坐标，

称为函数空间的基。用狄拉克符号就一目了然了：

。

（2）.我们称{

}为旋转群

作用在

张成的不变子空间，而在这个空间下旋转操作总可以用线性变换矩阵表示，我们称这样的线性变换为旋转群

的一个不可约表示，且称这个不可约表示的维度为3。

（3）.若物理量

与坐标

在对称操作下具有相同的变换关系，则称物理量

为矢量，例如速度

、偶极矩

。

（注：a.这里考虑的是笛卡尔坐标下的函数，因此称其中的系数数组为笛卡尔矢量。b.同理在狭义相对论中是从四维坐标定义出四维矢量。c.在量子力学中矢量的定义与经典不同，参见樱井现代量子力学3章.11节，个人认为主要区别在于角动量在经典理论中不是矢量，在量子理论中是矢量）

• 笛卡尔张量：现在我们考虑函数
  ,同上将所有旋转作用在函数
  上：，我们发现所有可能的新函数总可以写成二次型:
  或者

(其中

)

由于

在旋转操作下总是不变的，可见

是一个标量，因此

中的"独立变量"只有五个；直观的看：

取

,

。

这里请注意在旋转操作下只有五个量会发生改变，而C是一个在旋转操作下不变的量！因此，在这里我可以记{

}为函数空间的基（我这里这组基的选取并不是正规的形式，仅仅是为了与我上面写的矩阵相对应）。

（1）我们称矩阵

为二阶笛卡尔张量。与上面的（3）同理，我们可以定义满足条件的物理量为二阶笛卡尔张量。如这里的四极矩

。

（2）旋转群作用在

上会张出一个5-D不变子空间直和上一个1-D不变子空间。

同理，我们可以从旋转作用在更高阶的函数上（例如三阶

）写出更高阶的笛卡尔张量。

• 总结：

扯的有点广。。。 子标题“旋转操作（球函数的生成及多极矩）”；为什么提多极矩呢？不难发现，我这里的讨论都是从一个幂次函数出发的，如

;不管在哪一本电动力学的教材里只要讲多极矩，都会给我们说一个把

或者势函数

按远场条件

做泰勒展开的故事，然后得到一系列积分：

其中（

）；而上述积分实际上就是在求一个广义傅里叶展开的系数；而考虑到这些系数其实并非全部独立，因此我们可从旋转操作出发取寻找相互独立的傅里叶系数，而这些系数就对应于转动操作的不变子空间，用群论的语言说是将幂级数对应的线性空间在旋转不变子空间上做直积分解，而这些不变子空间的基是球函数或是可以通过一个幺正变换变到球函数：

(例:

)

此外，在我处理二阶笛卡尔张量的时候，我们已经看到了它可以分解为一个五维以球函数为基空间直和上一个一维以球函数为基的空间。如果我们处理一个三阶笛卡尔张量时，我们会发现它可以分解为7-D与3-D直和;在学角动量理论时，我们知道这样一个旋转操作的不可约表示可以对应于不同自旋或不同的轨道，在学习角动量的耦合时，我们会发现以上的这些操作空间的直和分解其实可以与角动量的耦合一一对应。如3阶笛卡尔张量对应于一个角动量

与另一个角动量

的耦合。

• 疑惑：

这种生成方式只关注了对称张量，反对称张量对应于磁多极矩（参见辐射的多极矩展开），那我们应该怎么处理？这里还有一部分没有说清楚的物理。

2.哈密顿量的对称群与简并空间

若操作

满足

，则称

为对称操作。

考察在哈密顿量本征方程做对称操作：

由此可见通过对称操作得到的态

与 态

具有同样的能本征值。

我们称所有对称操作

构成的集合 {

}为哈密顿量的对称群。

我们将所有的对称操作作用在某一个能量本征态

上，即可得到 能量本征值

的所有简并态，因此称这所有的态矢构成的空间为哈密顿量的简并子空间，但考虑到这些态矢并不都是线性独立的，因此我们需要去找到一组线性独立的基，这组基的数量便是本征子空间的维数、能量简并度、对称群不可约表示的维度，因此我们还需要一点群表示论的知识来帮助我们分析兼并子空间的维度这将在下一篇文章中给出。最后到这里，顺便提一句对称性破缺：一个物理系统所处状态的对称性群{

}一般是系统几何对称群{

}的子群。

总结：我们只需分析量子系统的对称性即可得出体系中的不同能量的简并度；甚至不需要知道系统的具体细节。 当我们处理复杂物理系统时，细节不再容易被抓住，因此对称性分析成了关键性的手段。

所以，凝聚计算组的老板在看学生画的能带图之前首先会问这个材料具有哪个空间群，要是没给，老板可能会觉得学生在瞎画。